Номер 2.16, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.16, страница 20.

2.16. a) $\begin{cases} x^2 + 4|x|y - 3y^2 = 2, \\ x^2 - |x|y + 5y^2 = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11, \\ x^2 + 2|x| \cdot |y| - y^2 = 7. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 4|x|y - 3y^2 = 2, \\ x^2 - |x|y + 5y^2 = 5; \end{cases} $$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Введем замену переменных: пусть $u = |x|$ и $v = y$. Так как $u$ - это модуль числа, то $u \ge 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} u^2 + 4uv - 3v^2 = 2, \\ u^2 - uv + 5v^2 = 5. \end{cases} $$

Это система двух квадратных уравнений относительно $u$ и $v$. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

$$ \begin{cases} 5u^2 + 20uv - 15v^2 = 10, \\ 2u^2 - 2uv + 10v^2 = 10. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(5u^2 + 20uv - 15v^2) - (2u^2 - 2uv + 10v^2) = 10 - 10$

$3u^2 + 22uv - 25v^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Если $v=0$, то $3u^2=0$, откуда $u=0$. Подставив $u=0, v=0$ в исходную систему, получим $0=2$ и $0=5$, что неверно. Значит, $v \ne 0$. Разделим уравнение на $v^2$:

$3\left(\frac{u}{v}\right)^2 + 22\left(\frac{u}{v}\right) - 25 = 0$

Пусть $t = \frac{u}{v}$. Получим квадратное уравнение $3t^2 + 22t - 25 = 0$.

Дискриминант $D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 484 + 300 = 784 = 28^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-22 - 28}{6} = -\frac{50}{6} = -\frac{25}{3}$, $t_2 = \frac{-22 + 28}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{u}{v} = 1$, то есть $u = v$. Так как $u \ge 0$, то и $v \ge 0$. Подставим $u=v$ во второе уравнение системы ($u^2 - uv + 5v^2 = 5$):

$v^2 - v \cdot v + 5v^2 = 5$

$5v^2 = 5 \implies v^2 = 1$.

Так как $v \ge 0$, то $v=1$. Тогда $u=1$.

Возвращаемся к исходным переменным: $|x| = 1$ и $y = 1$. Отсюда $x = \pm 1$. Получаем два решения: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. $\frac{u}{v} = -\frac{25}{3}$, то есть $u = -\frac{25}{3}v$. Так как $u \ge 0$, то $v \le 0$. Подставим $u = -\frac{25}{3}v$ во второе уравнение системы:

$\left(-\frac{25}{3}v\right)^2 - \left(-\frac{25}{3}v\right)v + 5v^2 = 5$

$\frac{625}{9}v^2 + \frac{25}{3}v^2 + 5v^2 = 5$

Умножим обе части на 9: $625v^2 + 75v^2 + 45v^2 = 45$.

$745v^2 = 45 \implies v^2 = \frac{45}{745} = \frac{9}{149}$.

Так как $v \le 0$, то $v = -\sqrt{\frac{9}{149}} = -\frac{3}{\sqrt{149}}$.

Тогда $u = -\frac{25}{3}v = -\frac{25}{3} \left(-\frac{3}{\sqrt{149}}\right) = \frac{25}{\sqrt{149}}$.

Возвращаемся к исходным переменным: $|x| = \frac{25}{\sqrt{149}}$ и $y = -\frac{3}{\sqrt{149}}$. Отсюда $x = \pm \frac{25}{\sqrt{149}}$. Получаем еще два решения: $(\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$ и $(-\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$.

Ответ: $(1, 1), (-1, 1), (\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}}), (-\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11, \\ x^2 + 2|x| \cdot |y| - y^2 = 7. \end{cases} $$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$. Введем замену переменных: пусть $u = |x|$ и $v = |y|$. По определению модуля, $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 3u^2 - v^2 = 11, \\ u^2 + 2uv - v^2 = 7. \end{cases} $$

Для решения этой системы исключим свободные члены. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 11:

$$ \begin{cases} 21u^2 - 7v^2 = 77, \\ 11u^2 + 22uv - 11v^2 = 77. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(21u^2 - 7v^2) - (11u^2 + 22uv - 11v^2) = 77 - 77$

$10u^2 - 22uv + 4v^2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$5u^2 - 11uv + 2v^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $v=0$, то $5u^2=0$, откуда $u=0$. Подстановка $u=0, v=0$ в исходную систему дает $0=11$, что неверно. Следовательно, $v \ne 0$. Разделим уравнение на $v^2$:

$5\left(\frac{u}{v}\right)^2 - 11\left(\frac{u}{v}\right) + 2 = 0$

Пусть $t = \frac{u}{v}$. Получим квадратное уравнение $5t^2 - 11t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $t_2 = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{u}{v} = \frac{1}{5}$, то есть $v = 5u$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы ($3u^2 - v^2 = 11$):

$3u^2 - (5u)^2 = 11$

$3u^2 - 25u^2 = 11 \implies -22u^2 = 11 \implies u^2 = -\frac{1}{2}$.

Так как $u = |x|$, $u$ должно быть действительным числом, а $u^2$ - неотрицательным. Уравнение $u^2 = -1/2$ не имеет действительных решений. В этом случае решений нет.

2. $\frac{u}{v} = 2$, то есть $u = 2v$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы ($3u^2 - v^2 = 11$):

$3(2v)^2 - v^2 = 11$

$3(4v^2) - v^2 = 11 \implies 12v^2 - v^2 = 11 \implies 11v^2 = 11 \implies v^2 = 1$.

Так как $v \ge 0$, то $v = 1$.

Тогда $u = 2v = 2 \cdot 1 = 2$.

Мы нашли пару значений $(u, v) = (2, 1)$.

Возвращаемся к исходным переменным: $|x| = u = 2$ и $|y| = v = 1$.

Из $|x| = 2$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.

Из $|y| = 1$ следует, что $y = 1$ или $y = -1$.

Комбинируя эти значения, получаем четыре пары решений: $(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)$.