Номер 2.23, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.23, страница 21.

2.23. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} |x - y| + xy = x + y, \\ x^2 + y^2 - x - y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} |x - y| + x + y = 3xy, \\ x^2 + y^2 - xy = 3. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases}|x - y| + xy = x + y, \\x^2 + y^2 - x - y = 2;\end{cases}$

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - y \ge 0$, то есть $x \ge y$.

В этом случае $|x - y| = x - y$. Система принимает вид:

$\begin{cases}x - y + xy = x + y, \\x^2 + y^2 - x - y = 2;\end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$xy - 2y = 0$

$y(x - 2) = 0$

Это равенство выполняется, если $y = 0$ или $x = 2$.

• Если $y = 0$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $x^2 + 0^2 - x - 0 = 2$

  $x^2 - x - 2 = 0$

  Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

  Проверим выполнение условия $x \ge y$:

  Для пары $(2, 0)$: $2 \ge 0$. Условие выполнено. Пара $(2, 0)$ является решением.

  Для пары $(-1, 0)$: $-1 \ge 0$. Условие не выполнено. Эта пара не является решением.

• Если $x = 2$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $2^2 + y^2 - 2 - y = 2$

  $4 + y^2 - 2 - y = 2$

  $y^2 - y = 0$

  $y(y - 1) = 0$

  Корни: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.

  Проверим выполнение условия $x \ge y$:

  Для пары $(2, 0)$: $2 \ge 0$. Условие выполнено. Эта пара уже была найдена.

  Для пары $(2, 1)$: $2 \ge 1$. Условие выполнено. Пара $(2, 1)$ является решением.

Случай 2: $x - y < 0$, то есть $x < y$.

В этом случае $|x - y| = -(x - y) = y - x$. Система принимает вид:

$\begin{cases}y - x + xy = x + y, \\x^2 + y^2 - x - y = 2;\end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$xy - 2x = 0$

$x(y - 2) = 0$

Это равенство выполняется, если $x = 0$ или $y = 2$.

• Если $x = 0$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $0^2 + y^2 - 0 - y = 2$

  $y^2 - y - 2 = 0$

  Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

  Проверим выполнение условия $x < y$:

  Для пары $(0, 2)$: $0 < 2$. Условие выполнено. Пара $(0, 2)$ является решением.

  Для пары $(0, -1)$: $0 < -1$. Условие не выполнено. Эта пара не является решением.

• Если $y = 2$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $x^2 + 2^2 - x - 2 = 2$

  $x^2 - x = 0$

  $x(x - 1) = 0$

  Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

  Проверим выполнение условия $x < y$:

  Для пары $(0, 2)$: $0 < 2$. Условие выполнено. Эта пара уже была найдена.

  Для пары $(1, 2)$: $1 < 2$. Условие выполнено. Пара $(1, 2)$ является решением.

Собрав все найденные решения, получаем:

Ответ: $(2, 0), (2, 1), (0, 2), (1, 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases}|x - y| + x + y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3.\end{cases}$

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - y \ge 0$, то есть $x \ge y$.

В этом случае $|x - y| = x - y$. Система принимает вид:

$\begin{cases}x - y + x + y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3;\end{cases}$

$\begin{cases}2x = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3.\end{cases}$

Из первого уравнения $2x - 3xy = 0$, или $x(2 - 3y) = 0$. Отсюда $x = 0$ или $y = 2/3$.

• Если $x = 0$, подставим это значение во второе уравнение:

  $0^2 + y^2 - 0 \cdot y = 3 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm\sqrt{3}$.

  Проверим условие $x \ge y$:

  Для пары $(0, \sqrt{3})$: $0 \ge \sqrt{3}$. Неверно.

  Для пары $(0, -\sqrt{3})$: $0 \ge -\sqrt{3}$. Верно. Пара $(0, -\sqrt{3})$ является решением.

• Если $y = 2/3$, подставим это значение во второе уравнение:

  $x^2 + (2/3)^2 - x(2/3) = 3$

  $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} - 3 = 0$

  $x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{23}{9} = 0$

  Умножим на 9: $9x^2 - 6x - 23 = 0$.

  Решим квадратное уравнение: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot (-23)}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{36+828}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{864}}{18} = \frac{6 \pm 12\sqrt{6}}{18} = \frac{1 \pm 2\sqrt{6}}{3}$.

  Проверим условие $x \ge y$ (т.е. $x \ge 2/3$):

  Для $x_1 = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}$: $\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3} \ge \frac{2}{3} \implies 1 + 2\sqrt{6} \ge 2 \implies 2\sqrt{6} \ge 1$. Верно. Пара $(\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3})$ является решением.

  Для $x_2 = \frac{1 - 2\sqrt{6}}{3}$: $\frac{1 - 2\sqrt{6}}{3} \ge \frac{2}{3} \implies 1 - 2\sqrt{6} \ge 2 \implies -2\sqrt{6} \ge 1$. Неверно.

Случай 2: $x - y < 0$, то есть $x < y$.

В этом случае $|x - y| = -(x - y) = y - x$. Система принимает вид:

$\begin{cases}y - x + x + y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3;\end{cases}$

$\begin{cases}2y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3.\end{cases}$

Заметим, что эта система симметрична системе из Случая 1 относительно замены $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Поэтому решения этого случая будут симметричны решениям из Случая 1.

Из решения $(0, -\sqrt{3})$ получаем пару $(-\sqrt{3}, 0)$. Проверим условие $x < y$: $-\sqrt{3} < 0$. Верно. Пара $(-\sqrt{3}, 0)$ является решением.

Из решения $(\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3})$ получаем пару $(\frac{2}{3}, \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3})$. Проверим условие $x < y$: $\frac{2}{3} < \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3} \implies 2 < 1 + 2\sqrt{6} \implies 1 < 2\sqrt{6}$. Верно. Пара $(\frac{2}{3}, \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3})$ является решением.

Собрав все найденные решения, получаем:

Ответ: $(0, -\sqrt{3}), (-\sqrt{3}, 0), (\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3})$.