Номер 2.26, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.26, страница 21.

2.26. a) $9x^2 + 12xy + 5y^2 - 6y + 9 = 0;$

б) $26x^2 + 10y^2 - 30xy + 6x + 10y + 34 = 0.$

а) $9x^2 + 12xy + 5y^2 - 6y + 9 = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Заметим, что слагаемое $5y^2$ можно представить в виде суммы $4y^2 + y^2$.

Перепишем уравнение:

$(9x^2 + 12xy + 4y^2) + (y^2 - 6y + 9) = 0$

Выражение в первой скобке является полным квадратом суммы $(3x+2y)^2$. Выражение во второй скобке также является полным квадратом разности $(y-3)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(3x + 2y)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим значение $y$:

$y = 3$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$3x + 2(3) = 0$

$3x + 6 = 0$

$3x = -6$

$x = -2$

Следовательно, решением уравнения является пара чисел $x = -2, y = 3$.

Ответ: $(-2, 3)$.

б) $26x^2 + 10y^2 - 30xy + 6x + 10y + 34 = 0$

Для решения этого уравнения также применим метод выделения полных квадратов. Заметим, что линейные члены $6x$ и $10y$ могут быть частью квадратов вида $(ax+b)^2$ и $(cy+d)^2$. В частности, $6x$ соответствует квадрату $(x+3)^2 = x^2+6x+9$, а $10y$ — квадрату $(y+5)^2 = y^2+10y+25$.

Сумма свободных членов в этих квадратах равна $9 + 25 = 34$, что точно совпадает со свободным членом в исходном уравнении.

Перегруппируем слагаемые в исходном уравнении, чтобы использовать эту идею. Представим $26x^2$ как $25x^2 + x^2$ и $10y^2$ как $9y^2 + y^2$.

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) + (25x^2 - 30xy + 9y^2) = 0$

Каждое из выражений в скобках является полным квадратом:

• $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
• $y^2 + 10y + 25 = (y + 5)^2$
• $25x^2 - 30xy + 9y^2 = (5x - 3y)^2$

Подставив эти выражения в уравнение, получим:

$(x + 3)^2 + (y + 5)^2 + (5x - 3y)^2 = 0$

Сумма квадратов трех действительных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из выражений равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 3 = 0 \\ y + 5 = 0 \\ 5x - 3y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = -3$

Из второго уравнения находим $y$:

$y = -5$

Подставим найденные значения $x$ и $y$ в третье уравнение, чтобы проверить его истинность:

$5(-3) - 3(-5) = -15 - (-15) = -15 + 15 = 0$

Так как $0=0$, все три уравнения системы выполняются. Значит, решением является пара чисел $x = -3, y = -5$.

Ответ: $(-3, -5)$.