Номер 2.27, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.27, страница 21.

2.27. a) $(x + 2y)^2 + 2|x - y + 3| = y - x - 3;$

б) $(5x - 2y - 7)^2 + 4|3x - 2y - 5| = 3x - 2y - 5.$

а) $(x + 2y)^2 + 2|x - y + 3| = y - x - 3$

Заметим, что правая часть уравнения является противоположной выражению под знаком модуля. Перепишем правую часть: $y - x - 3 = -(x - y + 3)$.

Введем замену: пусть $A = x - y + 3$. Тогда уравнение примет вид:

$(x + 2y)^2 + 2|A| = -A$

Левая часть этого уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(x + 2y)^2 \ge 0$ и $2|A| \ge 0$. Следовательно, вся левая часть всегда неотрицательна.

Это означает, что и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-A \ge 0$, что эквивалентно условию $A \le 0$.

По определению модуля, если $A \le 0$, то $|A| = -A$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$(x + 2y)^2 + 2(-A) = -A$

$(x + 2y)^2 - 2A = -A$

$(x + 2y)^2 = A$

Теперь у нас есть два условия: $A \le 0$ и $(x + 2y)^2 = A$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($(x + 2y)^2 \ge 0$), а $A$ неположительно, равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.

Таким образом, мы приходим к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} (x + 2y)^2 = 0 \\ A = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}$

Решим полученную систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x = -2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-2y) - y + 3 = 0$

$-3y + 3 = 0$

$-3y = -3$

$y = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = -2y = -2(1) = -2$

Решением уравнения является пара чисел $(x, y) = (-2, 1)$.

Ответ: $(-2; 1)$.

б) $(5x - 2y - 7)^2 + 4|3x - 2y - 5| = 3x - 2y - 5$

Это уравнение имеет схожую структуру. Сделаем замену. Пусть $B = 3x - 2y - 5$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(5x - 2y - 7)^2 + 4|B| = B$

Левая часть этого уравнения является суммой двух неотрицательных выражений: $(5x - 2y - 7)^2 \ge 0$ и $4|B| \ge 0$. Значит, левая часть всегда неотрицательна.

Из этого следует, что и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $B \ge 0$.

Если $B \ge 0$, то по определению модуля $|B| = B$. Подставим это в уравнение:

$(5x - 2y - 7)^2 + 4B = B$

$(5x - 2y - 7)^2 = B - 4B$

$(5x - 2y - 7)^2 = -3B$

Мы получили два условия: $B \ge 0$ и $(5x - 2y - 7)^2 = -3B$.

Выражение в левой части $(5x - 2y - 7)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). Выражение в правой части $-3B$, при условии $B \ge 0$, всегда неположительно ($\le 0$).

Равенство неотрицательного и неположительного числа возможно только тогда, когда оба они равны нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (5x - 2y - 7)^2 = 0 \\ -3B = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x - 2y - 7 = 0 \\ B = 3x - 2y - 5 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему в более удобном для решения виде:

$\begin{cases} 5x - 2y = 7 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Для решения системы удобно вычесть второе уравнение из первого:

$(5x - 2y) - (3x - 2y) = 7 - 5$

$5x - 2y - 3x + 2y = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$3(1) - 2y = 5$

$3 - 2y = 5$

$-2y = 5 - 3$

$-2y = 2$

$y = -1$

Решение системы и, следовательно, исходного уравнения: $x = 1, y = -1$.

Ответ: $(1; -1)$.