Номер 2.31, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.31, страница 22.

2.31. Найдите наименьшее значение выражения $f(x; y)$ при заданном дополнительном условии:

a) $f(x; y) = x^2 + 4y^2 - 4xy + 3x - y + 6$, $x + y = 1$;

б) $f(x; y) = 2x^2 + y^2 - 4xy + 3x - y + 6$, $x - 2y = 4$.

а)

Задано выражение $f(x; y) = x^2 + 4y^2 - 4xy + 3x - y + 6$ и дополнительное условие $x + y = 1$.

Первым шагом преобразуем квадратичную часть выражения $f(x; y)$. Заметим, что $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $f(x; y) = (x - 2y)^2 + 3x - y + 6$.

Из дополнительного условия $x + y = 1$ выразим одну переменную через другую, например, $y = 1 - x$.

Подставим это выражение для $y$ в преобразованную функцию $f(x; y)$, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$g(x) = f(x, 1-x) = (x - 2(1 - x))^2 + 3x - (1 - x) + 6$

Упростим полученное выражение:

$g(x) = (x - 2 + 2x)^2 + 3x - 1 + x + 6$

$g(x) = (3x - 2)^2 + 4x + 5$

$g(x) = (9x^2 - 12x + 4) + 4x + 5$

$g(x) = 9x^2 - 8x + 9$

Полученная функция $g(x)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $9 > 0$). Следовательно, она имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

Для нашей функции $a = 9$, $b = -8$, поэтому:

$x_0 = -(-8) / (2 \cdot 9) = 8 / 18 = 4/9$.

Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 4/9$ в выражение для $g(x)$:

$g_{min} = 9(4/9)^2 - 8(4/9) + 9 = 9(16/81) - 32/9 + 9 = 16/9 - 32/9 + 81/9 = (16 - 32 + 81) / 9 = 65/9$.

Ответ: $65/9$

б)

Задано выражение $f(x; y) = 2x^2 + y^2 - 4xy + 3x - y + 6$ и дополнительное условие $x - 2y = 4$.

В данном случае удобнее всего использовать метод подстановки. Из дополнительного условия $x - 2y = 4$ выразим $x$ через $y$:

$x = 4 + 2y$

Подставим это выражение для $x$ в функцию $f(x; y)$, чтобы получить функцию одной переменной $y$:

$g(y) = f(4+2y, y) = 2(4 + 2y)^2 + y^2 - 4(4 + 2y)y + 3(4 + 2y) - y + 6$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$g(y) = 2(16 + 16y + 4y^2) + y^2 - (16y + 8y^2) + (12 + 6y) - y + 6$

$g(y) = 32 + 32y + 8y^2 + y^2 - 16y - 8y^2 + 12 + 6y - y + 6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$g(y) = (8y^2 + y^2 - 8y^2) + (32y - 16y + 6y - y) + (32 + 12 + 6)$

$g(y) = y^2 + 21y + 50$

Полученная функция $g(y)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $y^2$ равен $1 > 0$). Ее наименьшее значение достигается в вершине.

Координата $y$ вершины параболы $ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -b / (2a)$.

Для нашей функции $a = 1$, $b = 21$, поэтому:

$y_0 = -21 / (2 \cdot 1) = -21/2$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $y_0 = -21/2$ в выражение для $g(y)$:

$g_{min} = (-21/2)^2 + 21(-21/2) + 50 = 441/4 - 441/2 + 50 = 441/4 - 882/4 + 200/4 = (441 - 882 + 200) / 4 = -241/4$.

Ответ: $-241/4$