Номер 3.5, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.5, страница 23.

3.5. Найдите целые корни уравнения:

a) $x^3 + 3x^2 - 5x - 4 = 0;$

б) $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 9x + 3 = 0;$

в) $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = 0;$

г) $x^5 - x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 4x - 4 = 0.$

а) $x^3 + 3x^2 - 5x - 4 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Свободный член равен -4. Возможные целые корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Пусть $P(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 4$.
При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 5(1) - 4 = 1 + 3 - 5 - 4 = -5 \neq 0$.
При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 4 = -1 + 3 + 5 - 4 = 3 \neq 0$.
При $x = 2$: $P(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 5(2) - 4 = 8 + 12 - 10 - 4 = 6 \neq 0$.
При $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 12 + 10 - 4 = 10 \neq 0$.
При $x = 4$: $P(4) = 4^3 + 3(4)^2 - 5(4) - 4 = 64 + 48 - 20 - 4 = 88 \neq 0$.
При $x = -4$: $P(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 5(-4) - 4 = -64 + 48 + 20 - 4 = 0$.
Таким образом, $x = -4$ — корень уравнения. Это означает, что многочлен делится на $(x+4)$.

Разделив многочлен $x^3 + 3x^2 - 5x - 4$ на $(x+4)$, получим в частном $x^2 - x - 1$. Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x+4)(x^2 - x - 1) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - x - 1 = 0$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ не являются целыми числами.

Следовательно, единственным целым корнем уравнения является -4.

Ответ: -4.

б) $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 9x + 3 = 0$

Возможные целые корни являются делителями свободного члена, равного 3. Это числа $\pm 1, \pm 3$. Проверка подстановкой показывает, что ни одно из этих чисел не является корнем уравнения.

Попробуем разложить многочлен на множители методом группировки:

$x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 9x + 3 = (x^4 + x^2) + (3x^2 + 3) - 3x^3 - 9x = x^2(x^2+1) + 3(x^2+1) - 3x(x^2+3)$

Такая группировка не приводит к успеху. Попробуем иначе:

$(x^4 - 3x^3 + x^2) + (3x^2 - 9x + 3) = x^2(x^2 - 3x + 1) + 3(x^2 - 3x + 1) = 0$

$(x^2 + 3)(x^2 - 3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, а значит, и целых.

2) $x^2 - 3x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ не являются целыми.

Таким образом, у исходного уравнения нет целых корней.

Ответ: целых корней нет.

в) $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = 0$

Целые корни уравнения могут быть только среди делителей свободного члена, равного 6. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим их подстановкой. Пусть $P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6$.
При $x = 1$: $P(1) = 1 + 2 - 5 - 4 + 6 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.

Разделим многочлен $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6$ на $(x-1)$ и получим $x^3 + 3x^2 - 2x - 6$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)(x^3 + 3x^2 - 2x - 6) = 0$.

Теперь ищем корни уравнения $x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0$. Разложим его левую часть на множители группировкой:
$x^2(x+3) - 2(x+3) = (x^2 - 2)(x+3) = 0$.

Отсюда получаем еще два уравнения: $x+3=0$ и $x^2-2=0$.
Из $x+3=0$ находим корень $x=-3$. Это целое число.
Из $x^2-2=0$ находим $x^2=2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$. Эти корни не являются целыми.

Таким образом, целыми корнями исходного уравнения являются 1 и -3.

Ответ: 1, -3.

г) $x^5 - x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 4x - 4 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$x^4(x - 1) - 5x^3 + 5x^2 + 4x - 4 = x^4(x - 1) - 5x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Отсюда следует, что либо $x-1=0$, либо $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Из первого уравнения получаем корень $x_1 = 1$.

Второе уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ является биквадратным. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \geq 0$:
$y^2 - 5y + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $y_1=1$ и $y_2=4$. Оба корня положительны.

Сделаем обратную замену:
1) $x^2 = y_1 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 = y_2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Объединяя все найденные целые значения, получаем множество корней.

Ответ: -2, -1, 1, 2.