Номер 3.11, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.11, страница 24.

Решите уравнение:

3.11. a) $2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 10 = 0;$

б) $2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 2 = 0;$

в) $2x^2 + \frac{2}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 6 = 0;$

г) $2x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 2 = 0.$

а) $2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 10 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x + \frac{1}{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$2t^2 + t - 10 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$, то:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x_1 = 1$

2) Если $t = -\frac{5}{2}$, то:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -5x$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_3 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

б) $2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\left(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\right) + x + \frac{1}{x} - 2 = 0$

$2x^2 - 4 + \frac{2}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(2x^2 + \frac{2}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

Сделаем замену переменной $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в преобразованное уравнение:

$2(t^2 - 2) + t - 6 = 0$

$2t^2 - 4 + t - 6 = 0$

$2t^2 + t - 10 = 0$

Мы получили точно такое же квадратное уравнение для $t$, как и в пункте а). Его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -\frac{5}{2}$.

Следовательно, обратная замена и нахождение корней для $x$ будут идентичны решению в пункте а).

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

в) $2x^2 + \frac{2}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 6 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$\left(2x^2 + \frac{2}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

Это уравнение идентично преобразованному уравнению из пункта б). Произведем ту же замену: $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подстановка приводит к уравнению:

$2(t^2 - 2) + t - 6 = 0$

$2t^2 + t - 10 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -\frac{5}{2}$. Дальнейшее решение полностью совпадает с решением в пунктах а) и б).

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

г) $2x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 2 = 0$

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны (2 и 2, 1 и 1).

Заметим, что $x = 0$ не является корнем уравнения ($2 \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2 \neq 0$.

$\frac{2x^4}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} - \frac{6x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 0$

$2x^2 + x - 6 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(2x^2 + \frac{2}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

Мы получили уравнение, которое в точности совпадает с уравнением из пункта в). Следовательно, дальнейший ход решения (замена $t = x + \frac{1}{x}$) и итоговые корни будут такими же.

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.