Номер 3.7, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.7, страница 23.

3.7. a) $x^6 - 4x^3 + 3 = 0;$

б) $(2 - x)^6 + 9(2 - x)^3 + 8 = 0;$

В) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0;$

Г) $(2 - x - x^2)^6 - 14.7(2 - x - x^2)^3 + 57 = 0.$

а) $x^6 - 4x^3 + 3 = 0$

Данное уравнение является бикубическим. Его можно привести к квадратному уравнению с помощью замены переменной.

Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $y = 1$, то $x^3 = 1$. Отсюда $x = \sqrt[3]{1} = 1$.

2. Если $y = 3$, то $x^3 = 3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{3}$.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $1; \sqrt[3]{3}$.

б) $(2 - x)^6 + 9(2 - x)^3 + 8 = 0$

Это уравнение также можно свести к квадратному. Сделаем замену.

Пусть $y = (2 - x)^3$. Тогда $(2 - x)^6 = ((2 - x)^3)^2 = y^2$. Подставим в уравнение:

$y^2 + 9y + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 8. Корни:

$y_1 = -1$, $y_2 = -8$

Выполним обратную замену.

1. Если $y = -1$, то $(2 - x)^3 = -1$. Извлекая кубический корень, получаем $2 - x = -1$. Отсюда $x = 2 + 1 = 3$.

2. Если $y = -8$, то $(2 - x)^3 = -8$. Извлекая кубический корень, получаем $2 - x = -2$. Отсюда $x = 2 + 2 = 4$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $3; 4$.

в) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$

Это еще одно бикубическое уравнение. Применим метод замены переменной.

Пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни:

$y_1 = 8$, $y_2 = -1$

Теперь вернемся к переменной $x$.

1. Если $y = 8$, то $x^3 = 8$. Отсюда $x = \sqrt[3]{8} = 2$.

2. Если $y = -1$, то $x^3 = -1$. Отсюда $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 2$.

г) $(2 - x - x^2)^6 - 14,7(2 - x - x^2)^3 + 57 = 0$

Данное уравнение решается аналогично предыдущим, с помощью замены.

Пусть $y = (2 - x - x^2)^3$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y^2 - 14,7y + 57 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14,7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 57 = 216,09 - 228 = -11,91$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - 14,7y + 57 = 0$ не имеет действительных корней для $y$.

Так как переменная $x$ предполагается действительным числом, то выражение $2 - x - x^2$ также является действительным числом, и его куб $y = (2 - x - x^2)^3$ тоже должен быть действительным числом. Поскольку для $y$ нет действительных решений, то и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.