Номер 3.8, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.8, страница 23.

3.8. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

а) $x + \frac{1}{x} = 3;$

б) $x - \frac{1}{x} = 5;$

в) $x + \frac{1}{x} = t;$

г) $x - \frac{1}{x} = t.$

Для решения всех пунктов задачи будем использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы ищем значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, которое является частью этих формул, если принять $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

а)

Дано, что $x + \frac{1}{x} = 3$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы:

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 9$

Упростим левую часть. Произведение $x \cdot \frac{1}{x}$ равно 1, поэтому получаем:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

Теперь выразим искомое выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся 2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

Ответ: 7

б)

Дано, что $x - \frac{1}{x} = 5$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, на этот раз используя формулу квадрата разности:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 5^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 25$

Упростим левую часть:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 25$

Выразим искомое выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся -2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 27$

Ответ: 27

в)

Дано, что $x + \frac{1}{x} = t$.

Это обобщенный случай пункта а). Действуем аналогично, возводя обе части в квадрат:

$(x + \frac{1}{x})^2 = t^2$

Раскрываем скобки:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = t^2$

Упрощаем:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = t^2$

Выражаем $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$

Ответ: $t^2 - 2$

г)

Дано, что $x - \frac{1}{x} = t$.

Это обобщенный случай пункта б). Возводим обе части в квадрат:

$(x - \frac{1}{x})^2 = t^2$

Раскрываем скобки:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = t^2$

Упрощаем:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = t^2$

Выражаем $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$

Ответ: $t^2 + 2$