Номер 3.9, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.9, страница 23.

3.9. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{4}{x^2}$, если:

а) $3x + \frac{2}{x} = -5$;

б) $3x - \frac{2}{x} = -5$;

в) $3x + \frac{2}{x} = t$;

г) $3x - \frac{2}{x} = t$.

а)

Чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{4}{x^2}$, возведем в квадрат обе части данного равенства $3x + \frac{2}{x} = -5$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(3x + \frac{2}{x})^2 = (-5)^2$
$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = 25$
$9x^2 + 12 + \frac{4}{x^2} = 25$
Теперь выразим искомое выражение $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 - 12$
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 13$
Ответ: 13

б)

Возведем в квадрат обе части равенства $3x - \frac{2}{x} = -5$.
Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3x - \frac{2}{x})^2 = (-5)^2$
$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = 25$
$9x^2 - 12 + \frac{4}{x^2} = 25$
Выразим искомое выражение $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 + 12$
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 37$
Ответ: 37

в)

Возведем в квадрат обе части равенства $3x + \frac{2}{x} = t$, используя формулу квадрата суммы:
$(3x + \frac{2}{x})^2 = t^2$
$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = t^2$
$9x^2 + 12 + \frac{4}{x^2} = t^2$
Выразим $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 12$
Ответ: $t^2 - 12$

г)

Возведем в квадрат обе части равенства $3x - \frac{2}{x} = t$, используя формулу квадрата разности:
$(3x - \frac{2}{x})^2 = t^2$
$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = t^2$
$9x^2 - 12 + \frac{4}{x^2} = t^2$
Выразим $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 12$
Ответ: $t^2 + 12$