Номер 3.2, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.2, страница 22.

3.2. а) $(2x - 1)^4 - x^2 = 0;$

б) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = (7x + 1)^2;$

в) $(8x + 3)^2 - x^4 = 8x^2 + 16;$

г) $x^4 - x^2 + 2x = 1.$

а) $(2x - 1)^4 - x^2 = 0$

Представим уравнение в виде разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (2x - 1)^2$ и $b = x$.

$((2x - 1)^2)^2 - x^2 = 0$

$((2x - 1)^2 - x)((2x - 1)^2 + x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $(2x - 1)^2 - x = 0$

Раскроем скобки: $4x^2 - 4x + 1 - x = 0$

$4x^2 - 5x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{8}$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2. $(2x - 1)^2 + x = 0$

Раскроем скобки: $4x^2 - 4x + 1 + x = 0$

$4x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: $1; \frac{1}{4}$.

б) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = (7x + 1)^2$

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся за скобки $x^2$:

$x^2(x^2 - 4x + 4) = (7x + 1)^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-2)^2$.

$x^2(x-2)^2 = (7x + 1)^2$

$(x(x-2))^2 = (7x + 1)^2$

$(x^2 - 2x)^2 = (7x + 1)^2$

Это уравнение вида $A^2=B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1. $x^2 - 2x = 7x + 1$

$x^2 - 9x - 1 = 0$

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 81 + 4 = 85$

$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

2. $x^2 - 2x = -(7x + 1)$

$x^2 - 2x = -7x - 1$

$x^2 + 5x + 1 = 0$

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

Ответ: $\frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}; \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

в) $(8x + 3)^2 - x^4 = 8x^2 + 16$

Перенесем члены уравнения, чтобы сгруппировать их:

$(8x + 3)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$

Правая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2 = (x^2 + 4)^2$.

Получаем уравнение: $(8x + 3)^2 = (x^2 + 4)^2$.

Это уравнение вида $A^2=B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1. $8x + 3 = x^2 + 4$

$x^2 - 8x + 1 = 0$

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$

2. $8x + 3 = -(x^2 + 4)$

$8x + 3 = -x^2 - 4$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_3 = -1$, $x_4 = -7$.

Ответ: $-7; -1; 4 \pm \sqrt{15}$.

г) $x^4 - x^2 + 2x = 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - x^2 + 2x - 1 = 0$

Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат:

$x^4 - (x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-1)^2$.

$x^4 - (x-1)^2 = 0$

$(x^2)^2 - (x-1)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(x^2 - (x - 1))(x^2 + (x - 1)) = 0$

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $x^2 - x + 1 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2. $x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.