Номер 3.1, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.1, страница 22.

Решите уравнение:

3.1. a) $x^3 - 3x^2 - 4x = 0;$

б) $x^4 + 11x^3 - x^2 = 0;$

в) $3x^3 - 8x^2 + 14x = 0;$

г) $(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 = 12x - 18.$

а) $x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Для этого найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_3 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 4$.

б) $x^4 + 11x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 11x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x^2 + 11x - 1 = 0$

Решим второе квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 121 + 4 = 125$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{125}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 \pm \sqrt{25 \cdot 5}}{2} = \frac{-11 \pm 5\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $0; \frac{-11 - 5\sqrt{5}}{2}; \frac{-11 + 5\sqrt{5}}{2}$.

в) $3x^3 - 8x^2 + 14x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x^2 - 8x + 14) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $3x^2 - 8x + 14 = 0$

Решим второе квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 64 - 168 = -104$

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $0$.

г) $(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 = 12x - 18$

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель 6 за скобки: $12x - 18 = 6(2x - 3)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 - 6(2x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 3)$ за скобки:

$(2x - 3)((2x - 3)^2 - (2x - 3) - 6) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{2}$

2) $(2x - 3)^2 - (2x - 3) - 6 = 0$

Для решения второго уравнения введем замену переменной. Пусть $y = 2x - 3$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - y - 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

Если $y = 3$:

$2x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x_2 = 3$

Если $y = -2$:

$2x - 3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 3$.