Номер 2.28, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.28, страница 21.

2.28. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению:

a) $(x - y + 1)^2 + (x + 2y - z)^2 + 5y^2 = 0;$

б) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0.$

а)

Дано уравнение $(x - y + 1)^2 + (x + 2y - z)^2 + 5y^2 = 0$. Левая часть этого уравнения представляет собой сумму трех слагаемых. Каждое из этих слагаемых является неотрицательным для любых действительных значений $x$, $y$, и $z$, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю:

• $(x - y + 1)^2 \ge 0$
• $(x + 2y - z)^2 \ge 0$
• $5y^2 \ge 0$

Сумма нескольких неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, для выполнения исходного уравнения необходимо, чтобы одновременно выполнялись три условия:

$ \begin{cases} (x - y + 1)^2 = 0 \\ (x + 2y - z)^2 = 0 \\ 5y^2 = 0 \end{cases} $

Из этих равенств получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + 2y - z = 0 \\ y = 0 \end{cases} $

Решим эту систему. Из третьего уравнения мы сразу получаем $y = 0$. Подставим значение $y=0$ в первое уравнение: $x - 0 + 1 = 0 \implies x = -1$. Теперь подставим найденные значения $x = -1$ и $y = 0$ во второе уравнение: $-1 + 2(0) - z = 0 \implies -1 - z = 0 \implies z = -1$. Таким образом, единственная тройка чисел, удовлетворяющая уравнению, это $(-1, 0, -1)$.

Ответ: $(-1, 0, -1)$.

б)

Дано уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$. Для решения преобразуем левую часть уравнения. Умножим обе части уравнения на 2: $2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2 \cdot 0$ $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$. Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разностей: $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$. Данное выражение можно записать в виде: $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$.

Как и в предыдущем задании, мы получили сумму трех неотрицательных слагаемых (квадратов действительных чисел), которая равна нулю. Это возможно только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю:

$ \begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0 \end{cases} $

Из этой системы следует, что: $x - y = 0 \implies x = y$ $y - z = 0 \implies y = z$ $z - x = 0 \implies z = x$

Таким образом, все три переменные должны быть равны между собой: $x = y = z$. Это равенство будет верным для любой тройки одинаковых чисел. Если обозначить это число через $c$, то решением будет любая тройка чисел вида $(c, c, c)$, где $c$ — любое действительное число.

Ответ: $(c, c, c)$, где $c$ – любое действительное число.