Номер 2.25, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.25, страница 21.

Решите уравнение:

2.25. a) $(x^2 + 3y^2 - 7)^2 + \sqrt{3 - xy - y^2} = 0;$

б) $(5x + y - 6)^2 + (3x - y - 2)^4 = 0.$

а)

Дано уравнение $(x^2 + 3y^2 - 7)^2 + \sqrt{3 - xy - y^2} = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое слагаемое:

1. Первое слагаемое $(x^2 + 3y^2 - 7)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x^2 + 3y^2 - 7)^2 \ge 0$.

2. Второе слагаемое $\sqrt{3 - xy - y^2}$ является арифметическим квадратным корнем, поэтому его значение также всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{3 - xy - y^2} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 + 3y^2 - 7)^2 = 0 \\ \sqrt{3 - xy - y^2} = 0 \end{cases} $

Из этой системы получаем:

$ \begin{cases} x^2 + 3y^2 - 7 = 0 \\ 3 - xy - y^2 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в более удобном виде:

$ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 7 & (1) \\ xy = 3 - y^2 & (2) \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$. Заметим, что $y \ne 0$, так как если $y=0$, то из (2) следует $0=3$, что неверно. Следовательно, можно разделить на $y$: $x = \frac{3 - y^2}{y}$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$\left(\frac{3 - y^2}{y}\right)^2 + 3y^2 = 7$

$\frac{(3 - y^2)^2}{y^2} + 3y^2 = 7$

$\frac{9 - 6y^2 + y^4}{y^2} + 3y^2 = 7$

Умножим обе части уравнения на $y^2$ (поскольку $y \ne 0$):

$9 - 6y^2 + y^4 + 3y^4 = 7y^2$

$4y^4 - 13y^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = y^2$, где $t > 0$:

$4t^2 - 13t + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 = 5^2$

$t_{1,2} = \frac{13 \pm 5}{8}$

$t_1 = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

$t_2 = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к переменной $y$:

1. Если $y^2 = \frac{9}{4}$, то $y_1 = \frac{3}{2}$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.

2. Если $y^2 = 1$, то $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя формулу $x = \frac{3 - y^2}{y}$:

Для $y_1 = \frac{3}{2}$: $x_1 = \frac{3 - (3/2)^2}{3/2} = \frac{3 - 9/4}{3/2} = \frac{3/4}{3/2} = \frac{1}{2}$. Получаем решение $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Для $y_2 = -\frac{3}{2}$: $x_2 = \frac{3 - (-3/2)^2}{-3/2} = \frac{3 - 9/4}{-3/2} = \frac{3/4}{-3/2} = -\frac{1}{2}$. Получаем решение $(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$.

Для $y_3 = 1$: $x_3 = \frac{3 - 1^2}{1} = \frac{2}{1} = 2$. Получаем решение $(2; 1)$.

Для $y_4 = -1$: $x_4 = \frac{3 - (-1)^2}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}), (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}), (2; 1), (-2; -1)$.

б)

Дано уравнение $(5x + y - 6)^2 + (3x - y - 2)^4 = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое слагаемое:

1. Первое слагаемое $(5x + y - 6)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(5x + y - 6)^2 \ge 0$.

2. Второе слагаемое $(3x - y - 2)^4$ является четвертой степенью действительного числа, поэтому его значение также всегда неотрицательно, то есть $(3x - y - 2)^4 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} (5x + y - 6)^2 = 0 \\ (3x - y - 2)^4 = 0 \end{cases} $

Из этой системы получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 5x + y - 6 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в более удобном виде:

$ \begin{cases} 5x + y = 6 \\ 3x - y = 2 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(5x + y) + (3x - y) = 6 + 2$

$8x = 8$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$5(1) + y = 6$

$5 + y = 6$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.