Номер 2.18, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.18, страница 20.

2.18. a) $\begin{cases} x^3 + xy^2 = 5, \\ y^3 + x^2y = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 7, \\ x^3 - y^3 = 9 - x^2y + xy^2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + xy^2 = 5 \\ y^3 + x^2y = 10 \end{cases}$

Для решения вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} x(x^2 + y^2) = 5 \\ y(x^2 + y^2) = 10 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю ($5 \neq 0$ и $10 \neq 0$), то и левые части не равны нулю. Это означает, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и выражение $(x^2 + y^2)$ также не равно нулю. Поэтому мы можем разделить второе уравнение на первое:

$\frac{y(x^2 + y^2)}{x(x^2 + y^2)} = \frac{10}{5}$

Сократив общий множитель $(x^2+y^2)$, получим:

$\frac{y}{x} = 2$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = 2x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$x^3 + x(2x)^2 = 5$

Раскроем скобки и упростим:

$x^3 + x(4x^2) = 5$

$x^3 + 4x^3 = 5$

$5x^3 = 5$

$x^3 = 1$

Единственным действительным решением данного уравнения является $x = 1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 2)$.

Для проверки подставим найденные значения во второе уравнение системы:

$y^3 + x^2y = 2^3 + 1^2 \cdot 2 = 8 + 2 = 10$.

Равенство $10 = 10$ верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(1; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 7 \\ x^3 - y^3 = 9 - x^2y + xy^2 \end{cases}$

Поскольку левые части обоих уравнений одинаковы ($x^3 - y^3$), мы можем приравнять их правые части:

$7 = 9 - x^2y + xy^2$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$x^2y - xy^2 = 9 - 7$

$xy(x - y) = 2$

Теперь мы можем заменить исходную систему на эквивалентную, более простую систему:

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 7 \\ xy(x - y) = 2 \end{cases}$

Применим формулу разности кубов к первому уравнению: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 7$

Для удобства введем замену переменных. Пусть $a = x - y$ и $b = xy$.

Выразим сумму квадратов $x^2 + y^2$ через новые переменные $a$ и $b$. Известно, что $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В наших переменных это $a^2 = x^2 + y^2 - 2b$. Отсюда $x^2 + y^2 = a^2 + 2b$.

Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:

$a((a^2 + 2b) + b) = 7$

$a(a^2 + 3b) = 7$

Второе уравнение системы $xy(x - y) = 2$ в новых переменных запишется как $b \cdot a = 2$.

Таким образом, мы получили систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a(a^2 + 3b) = 7 \\ ab = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b = \frac{2}{a}$ (это возможно, так как $ab=2 \neq 0$, следовательно $a \neq 0$) и подставим в первое уравнение:

$a(a^2 + 3 \cdot \frac{2}{a}) = 7$

$a(a^2 + \frac{6}{a}) = 7$

$a^3 + 6 = 7$

$a^3 = 1$

Отсюда находим $a = 1$.

Теперь найдем $b$:

$b = \frac{2}{a} = \frac{2}{1} = 2$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:

$\begin{cases} x - y = a \\ xy = b \end{cases} \implies \begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = y + 1$ и подставим во второе:

$(y + 1)y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Его корни можно найти по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$ и $y_1 y_2 = -2$. Корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня:

1. При $y_1 = 1$, $x_1 = y_1 + 1 = 1 + 1 = 2$. Первое решение: $(2; 1)$.

2. При $y_2 = -2$, $x_2 = y_2 + 1 = -2 + 1 = -1$. Второе решение: $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$, $(2; 1)$.