Номер 2.15, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.15, страница 20.

2.15. a) $\begin{cases} x^2 + 3xy + 2y^2 = 0, \\ 2x^2 + xy = 25; \end{cases}$

Б) $\begin{cases} x^2 + xy - 3y^2 = -23, \\ x^2 - y^2 - 2xy = -14; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - y^2 + xy = 4; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + 3xy = 7, \\ y^2 + xy = 6. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x^2 + 3xy + 2y^2 = 0, \\ 2x^2 + xy = 25; \end{cases} $

Первое уравнение системы является однородным уравнением второй степени. Разложим его на множители. Для этого решим его как квадратное уравнение относительно $x$:
$x = \frac{-3y \pm \sqrt{(3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y^2}}{2} = \frac{-3y \pm \sqrt{9y^2 - 8y^2}}{2} = \frac{-3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{-3y \pm y}{2}.$
Отсюда получаем два случая:
1) $x_1 = \frac{-3y + y}{2} = \frac{-2y}{2} = -y.$
2) $x_2 = \frac{-3y - y}{2} = \frac{-4y}{2} = -2y.$
Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x+y=0$ или $x+2y=0$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные выражения во второе уравнение системы $2x^2 + xy = 25$.

Случай 1: $x = -y$.
Подставляем во второе уравнение:
$2(-y)^2 + (-y)y = 25$
$2y^2 - y^2 = 25$
$y^2 = 25$
$y_1 = 5$, $y_2 = -5$.
Если $y_1=5$, то $x_1 = -5$. Получаем решение $(-5, 5)$.
Если $y_2=-5$, то $x_2 = -(-5) = 5$. Получаем решение $(5, -5)$.

Случай 2: $x = -2y$.
Подставляем во второе уравнение:
$2(-2y)^2 + (-2y)y = 25$
$2(4y^2) - 2y^2 = 25$
$8y^2 - 2y^2 = 25$
$6y^2 = 25$
$y^2 = \frac{25}{6}$, откуда $y = \pm \frac{5}{\sqrt{6}} = \pm \frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Если $y_3 = \frac{5\sqrt{6}}{6}$, то $x_3 = -2 \cdot \frac{5\sqrt{6}}{6} = -\frac{5\sqrt{6}}{3}$. Получаем решение $(-\frac{5\sqrt{6}}{3}, \frac{5\sqrt{6}}{6})$.
Если $y_4 = -\frac{5\sqrt{6}}{6}$, то $x_4 = -2 \cdot (-\frac{5\sqrt{6}}{6}) = \frac{5\sqrt{6}}{3}$. Получаем решение $(\frac{5\sqrt{6}}{3}, -\frac{5\sqrt{6}}{6})$.

Ответ: $(5, -5), (-5, 5), (\frac{5\sqrt{6}}{3}, -\frac{5\sqrt{6}}{6}), (-\frac{5\sqrt{6}}{3}, \frac{5\sqrt{6}}{6}).$

б) $ \begin{cases} x^2 + xy - 3y^2 = -23, \\ x^2 - y^2 - 2xy = -14; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 14, а второе на -23, чтобы избавиться от свободных членов и получить однородное уравнение.

$ \begin{cases} 14(x^2 + xy - 3y^2) = -23 \cdot 14, \\ -23(x^2 - y^2 - 2xy) = -14 \cdot (-23); \end{cases} \implies \begin{cases} 14x^2 + 14xy - 42y^2 = -322, \\ -23x^2 + 23y^2 + 46xy = 322; \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:
$(14x^2 + 14xy - 42y^2) + (-23x^2 + 23y^2 + 46xy) = -322 + 322$
$-9x^2 + 60xy - 19y^2 = 0$
Умножим на -1:
$9x^2 - 60xy + 19y^2 = 0$

Решим это однородное уравнение. Разделим на $y^2$ (предполагая, что $y \ne 0$; если $y=0$, то $9x^2=0 \implies x=0$, но пара $(0,0)$ не является решением исходной системы).
$9(\frac{x}{y})^2 - 60(\frac{x}{y}) + 19 = 0$.
Пусть $t = \frac{x}{y}$.
$9t^2 - 60t + 19 = 0$.
$D = (-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 19 = 3600 - 684 = 2916 = 54^2$.
$t_{1,2} = \frac{60 \pm 54}{18}$.
$t_1 = \frac{114}{18} = \frac{19}{3}$, значит $\frac{x}{y} = \frac{19}{3} \implies x = \frac{19}{3}y$.
$t_2 = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$, значит $\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$.

Случай 1: $x = \frac{19}{3}y$.
Подставим во второе уравнение исходной системы $x^2 - y^2 - 2xy = -14$:
$(\frac{19}{3}y)^2 - y^2 - 2(\frac{19}{3}y)y = -14$
$\frac{361}{9}y^2 - y^2 - \frac{38}{3}y^2 = -14$
$361y^2 - 9y^2 - 114y^2 = -126$
$238y^2 = -126 \implies y^2 = -\frac{126}{238} = -\frac{9}{17}$. В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $y = 3x$.
Подставим во второе уравнение исходной системы:
$x^2 - (3x)^2 - 2x(3x) = -14$
$x^2 - 9x^2 - 6x^2 = -14$
$-14x^2 = -14$
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Если $x_1=1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Решение $(1, 3)$.
Если $x_2=-1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Решение $(-1, -3)$.

Ответ: $(1, 3), (-1, -3).$

в) $ \begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - y^2 + xy = 4; \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители:
$2x^2 + 3xy - 2xy - 3y^2 = 0$
$x(2x+3y) - y(2x+3y) = 0$
$(x-y)(2x+3y) = 0$.
Отсюда $x-y=0$ или $2x+3y=0$.

Случай 1: $x = y$.
Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 + xy = 4$:
$y^2 - y^2 + y \cdot y = 4$
$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1=2$. Решение $(2, 2)$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2=-2$. Решение $(-2, -2)$.

Случай 2: $2x+3y=0 \implies x = -\frac{3}{2}y$.
Подставим во второе уравнение:
$(-\frac{3}{2}y)^2 - y^2 + (-\frac{3}{2}y)y = 4$
$\frac{9}{4}y^2 - y^2 - \frac{3}{2}y^2 = 4$
Умножим на 4:
$9y^2 - 4y^2 - 6y^2 = 16$
$-y^2 = 16 \implies y^2 = -16$. Действительных решений нет.

Ответ: $(2, 2), (-2, -2).$

г) $ \begin{cases} x^2 + 3xy = 7, \\ y^2 + xy = 6; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 7 и приравняем их, чтобы получить однородное уравнение.
$6(x^2 + 3xy) = 7(y^2 + xy)$
$6x^2 + 18xy = 7y^2 + 7xy$
$6x^2 + 11xy - 7y^2 = 0$

Разложим на множители (или решим как квадратное относительно $x$):
$6x^2 + 14xy - 3xy - 7y^2 = 0$
$2x(3x+7y) - y(3x+7y) = 0$
$(2x-y)(3x+7y) = 0$.
Отсюда $2x-y=0$ или $3x+7y=0$.

Случай 1: $y=2x$.
Подставим во второе уравнение исходной системы $y^2 + xy = 6$:
$(2x)^2 + x(2x) = 6$
$4x^2 + 2x^2 = 6$
$6x^2 = 6 \implies x^2=1 \implies x = \pm 1$.
Если $x_1=1$, то $y_1=2$. Решение $(1, 2)$.
Если $x_2=-1$, то $y_2=-2$. Решение $(-1, -2)$.

Случай 2: $3x+7y=0 \implies x = -\frac{7}{3}y$.
Подставим во второе уравнение $y^2 + xy = 6$:
$y^2 + (-\frac{7}{3}y)y = 6$
$y^2 - \frac{7}{3}y^2 = 6$
$-\frac{4}{3}y^2 = 6 \implies y^2 = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$. Действительных решений нет.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2).$