Номер 2.11, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.11, страница 19.

2.11. Найдите отношение $\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)}$, если:

a) $f(x; y) = 2x^2 + 5xy - 7y^2$;

б) $f(x; y) = x^4 + 12x^3y - 7x^2y^2 + 2xy^3 - 2y^4$;

в) $f(x; y) = (3x - 5y)^3 + 2x(x + y)^2 - 7y^2(2x - y)$;

г) $f(x; y) = (x + y)^6 + (5x^2 - 4y^2)^3 - 7(x^3 - y^3)^2 + x^3y^3$.

а) Дана функция $f(x; y) = 2x^2 + 5xy - 7y^2$.
Найдем значение функции в точке $(kx, ky)$. Для этого подставим $kx$ вместо $x$ и $ky$ вместо $y$:
$f(kx; ky) = 2(kx)^2 + 5(kx)(ky) - 7(ky)^2 = 2k^2x^2 + 5k^2xy - 7k^2y^2$.
Вынесем общий множитель $k^2$ за скобки:
$f(kx; ky) = k^2(2x^2 + 5xy - 7y^2)$.
В скобках мы получили исходную функцию $f(x; y)$. Таким образом, $f(kx; ky) = k^2 f(x; y)$.
Теперь найдем искомое отношение:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^2 f(x; y)}{f(x; y)} = k^2$.
Ответ: $k^2$

б) Дана функция $f(x; y) = x^4 + 12x^3y - 7x^2y^2 + 2xy^3 - 2y^4$.
Данная функция является однородной функцией степени 4, так как степень каждого ее одночлена равна 4 (например, для $12x^3y$ степень равна $3+1=4$).
Для однородной функции степени $n$ выполняется свойство $f(kx; ky) = k^n f(x; y)$. В данном случае степень $n=4$.
Проверим это, подставив $kx$ и $ky$:
$f(kx; ky) = (kx)^4 + 12(kx)^3(ky) - 7(kx)^2(ky)^2 + 2(kx)(ky)^3 - 2(ky)^4$
$= k^4x^4 + 12(k^3x^3)(ky) - 7(k^2x^2)(k^2y^2) + 2(kx)(k^3y^3) - 2k^4y^4$
$= k^4x^4 + 12k^4x^3y - 7k^4x^2y^2 + 2k^4xy^3 - 2k^4y^4$
$= k^4(x^4 + 12x^3y - 7x^2y^2 + 2xy^3 - 2y^4) = k^4 f(x; y)$.
Тогда искомое отношение равно:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^4 f(x; y)}{f(x; y)} = k^4$.
Ответ: $k^4$

в) Дана функция $f(x; y) = (3x - 5y)^3 + 2x(x + y)^2 - 7y^2(2x - y)$.
Проверим, является ли функция однородной. Для этого определим степень однородности каждого слагаемого.
1. Первое слагаемое: $(3(kx) - 5(ky))^3 = (k(3x-5y))^3 = k^3(3x-5y)^3$. Степень однородности равна 3.
2. Второе слагаемое: $2(kx)((kx) + (ky))^2 = 2kx(k(x+y))^2 = 2kx \cdot k^2(x+y)^2 = k^3 \cdot 2x(x+y)^2$. Степень однородности равна 3.
3. Третье слагаемое: $-7(ky)^2(2(kx) - (ky)) = -7k^2y^2 \cdot k(2x-y) = -k^3 \cdot 7y^2(2x-y)$. Степень однородности равна 3.
Так как все слагаемые являются однородными функциями одной и той же степени 3, их сумма также является однородной функцией степени 3. Таким образом, $f(kx; ky) = k^3 f(x; y)$.
Следовательно, отношение:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^3 f(x; y)}{f(x; y)} = k^3$.
Ответ: $k^3$

г) Дана функция $f(x; y) = (x + y)^6 + (5x^2 - 4y^2)^3 - 7(x^3 - y^3)^2 + x^3y^3$.
Проверим однородность каждого слагаемого:
1. Для $(x + y)^6$: $((kx) + (ky))^6 = (k(x+y))^6 = k^6(x+y)^6$. Степень 6.
2. Для $(5x^2 - 4y^2)^3$: $(5(kx)^2 - 4(ky)^2)^3 = (k^2(5x^2 - 4y^2))^3 = (k^2)^3(5x^2 - 4y^2)^3 = k^6(5x^2 - 4y^2)^3$. Степень 6.
3. Для $-7(x^3 - y^3)^2$: $-7((kx)^3 - (ky)^3)^2 = -7(k^3(x^3 - y^3))^2 = -7(k^3)^2(x^3 - y^3)^2 = -7k^6(x^3 - y^3)^2$. Степень 6.
4. Для $x^3y^3$: $(kx)^3(ky)^3 = k^3x^3 \cdot k^3y^3 = k^6x^3y^3$. Степень 6.
Все слагаемые являются однородными функциями степени 6, значит, вся функция $f(x;y)$ однородна и имеет степень 6.
Следовательно, $f(kx; ky) = k^6 f(x; y)$.
Найдем отношение:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^6 f(x; y)}{f(x; y)} = k^6$.
Ответ: $k^6$