Номер 2.7, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.7, страница 19.

○2.7. Докажите, что многочлен:

a) $x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7$ делится без остатка на многочлен $x - y$;

б) $x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}$ делится без остатка на многочлен $x + y$.

а)

Чтобы доказать, что многочлен $P(x, y) = x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7$ делится без остатка на многочлен $x - y$, воспользуемся следствием из теоремы Безу. Согласно этому следствию, многочлен делится на двучлен $(x - y)$ тогда и только тогда, когда значение многочлена равно нулю при подстановке $x = y$.

Выполним подстановку $x = y$ в данный многочлен:

$P(y, y) = y^7 - 3(y)^3y^4 + 6(y)y^6 - 4y^7$

Упростим выражение, используя свойство степеней $a^m a^n = a^{m+n}$:

$y^7 - 3y^{3+4} + 6y^{1+6} - 4y^7 = y^7 - 3y^7 + 6y^7 - 4y^7$

Сгруппируем члены и вынесем $y^7$ за скобки:

$(1 - 3 + 6 - 4)y^7 = (7 - 7)y^7 = 0 \cdot y^7 = 0$

Поскольку результат равен нулю, исходный многочлен делится на $(x - y)$ без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что многочлен $Q(x, y) = x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}$ делится без остатка на многочлен $x + y$, также воспользуемся следствием из теоремы Безу. Многочлен делится на $(x + y)$, что эквивалентно $(x - (-y))$, если его значение равно нулю при подстановке $x = -y$.

Выполним подстановку $x = -y$ в данный многочлен:

$Q(-y, y) = (-y)^{13} + 7(-y)^{10}y^3 - 11(-y)^3y^{10} - 17y^{13}$

При возведении отрицательного числа в степень, знак зависит от четности показателя: $(-a)^n = -a^n$ для нечетного $n$ и $(-a)^n = a^n$ для четного $n$.

$(-y)^{13} = -y^{13}$ (13 — нечетное)

$(-y)^{10} = y^{10}$ (10 — четное)

$(-y)^{3} = -y^{3}$ (3 — нечетное)

Подставим эти значения обратно в выражение:

$-y^{13} + 7(y^{10})y^3 - 11(-y^3)y^{10} - 17y^{13} = -y^{13} + 7y^{13} + 11y^{13} - 17y^{13}$

Сгруппируем члены и вынесем $y^{13}$ за скобки:

$(-1 + 7 + 11 - 17)y^{13} = (18 - 18)y^{13} = 0 \cdot y^{13} = 0$

Поскольку результат равен нулю, исходный многочлен делится на $(x + y)$ без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.