Номер 2.3, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.3, страница 18.

2.3. a) $x^2 + (1 + y)x + y;$

б) $2x^2 - 7xy + 5y^2 - 3x + 3y;$

в) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y;$

г) $3x^2 - xy - 24y^2 + 5x - 15y.$

а) $x^2 + (1 + y)x + y$

Для разложения на множители данного выражения сначала раскроем скобки:

$x^2 + 1 \cdot x + y \cdot x + y = x^2 + x + xy + y$

Теперь сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(x^2 + x) + (xy + y)$

В каждой группе вынесем за скобки общий множитель:

$x(x + 1) + y(x + 1)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 1)(x + y)$

Ответ: $(x + 1)(x + y)$

б) $2x^2 - 7xy + 5y^2 - 3x + 3y$

Сгруппируем слагаемые. Сначала разложим на множители квадратичную часть $2x^2 - 7xy + 5y^2$. Для этого представим средний член $-7xy$ в виде суммы $-2xy - 5xy$:

$2x^2 - 2xy - 5xy + 5y^2 = (2x^2 - 2xy) - (5xy - 5y^2)$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$2x(x - y) - 5y(x - y) = (x - y)(2x - 5y)$

Теперь сгруппируем оставшиеся слагаемые $-3x + 3y$ и вынесем общий множитель $-3$:

$-3x + 3y = -3(x - y)$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x - y)(2x - 5y) - 3(x - y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x - y)$, который можно вынести за скобки:

$(x - y)((2x - 5y) - 3) = (x - y)(2x - 5y - 3)$

Ответ: $(x - y)(2x - 5y - 3)$

в) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y$

Сгруппируем слагаемые. Объединим слагаемые, содержащие квадраты, и слагаемые с переменными в первой степени:

$(4x^2 - y^2) + (-8x + 4y)$

Первая группа $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$

Во второй группе $-8x + 4y$ вынесем за скобки общий множитель $-4$:

$-8x + 4y = -4(2x - y)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(2x - y)(2x + y) - 4(2x - y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(2x - y)$:

$(2x - y)((2x + y) - 4) = (2x - y)(2x + y - 4)$

Ответ: $(2x - y)(2x + y - 4)$

г) $3x^2 - xy - 24y^2 + 5x - 15y$

Разложим на множители квадратичную часть $3x^2 - xy - 24y^2$. Для этого найдем два числа, произведение которых равно $3 \cdot (-24) = -72$, а сумма равна коэффициенту при $xy$, то есть $-1$. Эти числа $8$ и $-9$. Представим $-xy$ как $8xy - 9xy$:

$3x^2 + 8xy - 9xy - 24y^2 = (3x^2 - 9xy) + (8xy - 24y^2)$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$3x(x - 3y) + 8y(x - 3y) = (x - 3y)(3x + 8y)$

Теперь рассмотрим оставшиеся слагаемые $5x - 15y$ и вынесем общий множитель $5$:

$5x - 15y = 5(x - 3y)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(x - 3y)(3x + 8y) + 5(x - 3y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x - 3y)$:

$(x - 3y)((3x + 8y) + 5) = (x - 3y)(3x + 8y + 5)$

Ответ: $(x - 3y)(3x + 8y + 5)$