Номер 1.46, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.46, страница 17.

1.46. Докажите, что у данного многочлена $p(x)$ нет рациональных корней:

а) $p(x) = 7x^{15} - 13;$

б) $p(x) = 3x^7 + 1.$

Для доказательства отсутствия рациональных корней у данных многочленов воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа, $q \neq 0$), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

а)

Рассмотрим многочлен $p(x) = 7x^{15} - 13$.

Здесь старший коэффициент $a_{15} = 7$, а свободный член $a_0 = -13$.

Предположим, что $x = \frac{p}{q}$ является рациональным корнем этого многочлена.

Тогда $p$ должен быть делителем числа $-13$. Возможные целые значения для $p$: $\pm 1, \pm 13$.

А $q$ должен быть делителем числа $7$. Возможные целые значения для $q$: $\pm 1, \pm 7$.

Следовательно, все возможные рациональные корни многочлена $p(x)$ должны принадлежать множеству $\{\pm 1, \pm 13, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{13}{7}\}$.

Подставим корень $x = \frac{p}{q}$ в уравнение $p(x) = 0$:

$7(\frac{p}{q})^{15} - 13 = 0$

$7\frac{p^{15}}{q^{15}} = 13$

$7p^{15} = 13q^{15}$

Проанализируем полученное равенство. Левая часть, $7p^{15}$, делится на простое число 7. Значит, и правая часть, $13q^{15}$, также должна делиться на 7. Поскольку 13 и 7 взаимно просты, то $q^{15}$ должно делиться на 7, а следовательно, и $q$ должно делиться на 7.

Аналогично, правая часть, $13q^{15}$, делится на простое число 13. Значит, и левая часть, $7p^{15}$, должна делиться на 13. Поскольку 7 и 13 взаимно просты, то $p^{15}$ должно делиться на 13, а следовательно, и $p$ должно делиться на 13.

Итак, мы пришли к выводу, что $p$ делится на 13, а $q$ делится на 7. Учитывая, что $p$ и $q$ взаимно просты, это возможно только если $|p|=13$ и $|q|=7$. Подставим эти значения в наше уравнение:

$7(\pm 13)^{15} = 13(\pm 7)^{15}$

Так как степень 15 нечетная, $(\pm a)^{15} = \pm a^{15}$.

$\pm 7 \cdot 13^{15} = \pm 13 \cdot 7^{15}$

Разделим обе части на $7 \cdot 13$ (знаки могут быть разными, но это не повлияет на модули):

$|13^{14}| = |7^{14}|$

$13^{14} = 7^{14}$

Это равенство неверно, так как $13 \neq 7$. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о существовании рационального корня было ошибочным.

Ответ: Доказано, что многочлен $p(x) = 7x^{15} - 13$ не имеет рациональных корней.

б)

Рассмотрим многочлен $p(x) = 3x^7 + 1$.

Здесь старший коэффициент $a_7 = 3$, а свободный член $a_0 = 1$.

Пусть $x = \frac{p}{q}$ — предполагаемый рациональный корень.

Тогда числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0 = 1$. Возможные значения для $p$: $\pm 1$.

Знаменатель $q$ должен быть делителем старшего коэффициента $a_7 = 3$. Возможные значения для $q$: $\pm 1, \pm 3$.

Таким образом, все возможные рациональные корни должны находиться в множестве: $\{\pm\frac{1}{1}, \pm\frac{1}{3}\}$, то есть $\{\pm 1, \pm \frac{1}{3}\}$.

Проверим каждое из этих четырёх значений, подставляя их в уравнение $p(x)=0$:

• При $x=1$: $p(1) = 3(1)^7 + 1 = 3 + 1 = 4 \neq 0$.
• При $x=-1$: $p(-1) = 3(-1)^7 + 1 = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2 \neq 0$.
• При $x=\frac{1}{3}$: $p(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^7 + 1 = 3 \cdot \frac{1}{2187} + 1 = \frac{1}{729} + 1 \neq 0$.
• При $x=-\frac{1}{3}$: $p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^7 + 1 = 3 \cdot (-\frac{1}{2187}) + 1 = -\frac{1}{729} + 1 \neq 0$.

Ни одно из возможных рациональных значений не обращает многочлен в ноль. Следовательно, у многочлена нет рациональных корней.

Ответ: Доказано, что многочлен $p(x) = 3x^7 + 1$ не имеет рациональных корней.