Номер 1.44, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.44, страница 17.

1.44. a) Найдите приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени, если $p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 3.$

б) Найдите приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени, если $p(0) = p(1) = p(4) = 0.$

а)

Мы ищем приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени. Это означает, что он имеет вид $p(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$. Даны условия: $p(0) = 1$, $p(1) = 2$, $p(2) = 3$.

Заметим, что для заданных точек выполняется соотношение $p(x) = x+1$. Рассмотрим вспомогательный многочлен $q(x) = p(x) - (x+1)$.

Подставим в него значения $x=0, 1, 2$:

$q(0) = p(0) - (0+1) = 1 - 1 = 0$

$q(1) = p(1) - (1+1) = 2 - 2 = 0$

$q(2) = p(2) - (2+1) = 3 - 3 = 0$

Поскольку многочлен $q(x)$ обращается в ноль в точках $0, 1$ и $2$, его можно представить в виде произведения множителей, соответствующих этим корням:$q(x) = A \cdot (x-0)(x-1)(x-2)$ для некоторого коэффициента $A$.

Теперь выразим $p(x)$ через $q(x)$:
$p(x) = q(x) + (x+1) = A \cdot x(x-1)(x-2) + x + 1$.

Раскроем скобки, чтобы определить старший коэффициент многочлена $p(x)$:
$p(x) = A \cdot (x^2 - x)(x - 2) + x + 1$
$p(x) = A \cdot (x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x) + x + 1$
$p(x) = A \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x) + x + 1$
$p(x) = Ax^3 - 3Ax^2 + 2Ax + x + 1$
$p(x) = Ax^3 - 3Ax^2 + (2A+1)x + 1$.

По условию, многочлен $p(x)$ является приведённым, то есть коэффициент при $x^3$ равен 1. Следовательно, $A=1$.

Подставим $A=1$ в выражение для $p(x)$:
$p(x) = 1 \cdot x^3 - 3 \cdot 1 \cdot x^2 + (2 \cdot 1 + 1)x + 1$
$p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$.

Ответ: $p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$.

б)

Мы ищем приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени, для которого выполняются условия: $p(0) = 0$, $p(1) = 0$, $p(4) = 0$.

Эти условия означают, что числа $0, 1$ и $4$ являются корнями многочлена $p(x)$.

Согласно теореме Безу, если число $c$ является корнем многочлена, то многочлен делится на $(x-c)$ без остатка. Следовательно, многочлен $p(x)$ должен делиться на $(x-0)$, $(x-1)$ и $(x-4)$.

Таким образом, $p(x)$ можно записать в виде:
$p(x) = A \cdot (x-0)(x-1)(x-4)$, где $A$ — некоторый числовой коэффициент.

Поскольку $p(x)$ — многочлен третьей степени, это его общая форма. Чтобы найти коэффициент $A$, используем условие, что $p(x)$ — приведённый многочлен. Это значит, что коэффициент при старшей степени ($x^3$) равен 1.

Раскроем скобки в выражении для $p(x)$:
$p(x) = A \cdot x(x^2 - 4x - x + 4)$
$p(x) = A \cdot x(x^2 - 5x + 4)$
$p(x) = A \cdot (x^3 - 5x^2 + 4x)$
$p(x) = Ax^3 - 5Ax^2 + 4Ax$.

Коэффициент при $x^3$ равен $A$. По условию он должен быть равен 1, следовательно, $A=1$.

Подставляем $A=1$ и получаем искомый многочлен:
$p(x) = x^3 - 5x^2 + 4x$.

Ответ: $p(x) = x^3 - 5x^2 + 4x$.