Номер 1.42, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.42, страница 17.

1.42. Разложите многочлен на линейные множители:

а) $x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6;$

б) $x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4;$

в) $x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4;$

г) $x^8 - x^7 - 5x^6 + 3x^5 + 9x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 2.$

а) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6$.

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни многочлена являются делителями свободного члена, то есть числа 6. Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим $x=1$:
$P(1) = 1^5 - 4(1)^4 + 14(1)^2 - 17(1) + 6 = 1 - 4 + 14 - 17 + 6 = 0$.
Значит, $x=1$ является корнем, и $(x-1)$ — один из множителей.

Проверим кратность корня $x=1$ с помощью производных:
$P'(x) = 5x^4 - 16x^3 + 28x - 17$
$P'(1) = 5 - 16 + 28 - 17 = 0$. Корень имеет кратность как минимум 2.

$P''(x) = 20x^3 - 48x^2 + 28$
$P''(1) = 20 - 48 + 28 = 0$. Корень имеет кратность как минимум 3.

$P'''(x) = 60x^2 - 96x$
$P'''(1) = 60 - 96 = -36 \neq 0$. Корень $x=1$ имеет кратность 3.

Следовательно, многочлен $P(x)$ делится на $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ без остатка. Выполним деление столбиком:

 x^2 - x - 6 ____________________x^3-3x^2+3x-1 | x^5 - 4x^4 + 0x^3 + 14x^2 - 17x + 6 -(x^5 - 3x^4 + 3x^3 - x^2) ____________________ -x^4 - 3x^3 + 15x^2 - 17x -(-x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x) ____________________ -6x^3 + 18x^2 - 18x + 6 -(-6x^3 + 18x^2 - 18x + 6) ____________________ 0

Таким образом, $P(x) = (x-1)^3(x^2 - x - 6)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Окончательное разложение многочлена:
$x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6 = (x-1)^3(x-3)(x+2)$.

Ответ: $(x-1)^3(x-3)(x+2)$.

б) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4$.

Возможные целые корни — делители свободного члена 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=-1$:
$P(-1) = (-1)^5 - (-1)^4 - 5(-1)^3 + (-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 - 1 + 5 + 1 - 8 + 4 = 0$.
Значит, $x=-1$ — корень.

Проверим кратность корня $x=-1$ с помощью производных:
$P'(x) = 5x^4 - 4x^3 - 15x^2 + 2x + 8$
$P'(-1) = 5(1) - 4(-1) - 15(1) + 2(-1) + 8 = 5 + 4 - 15 - 2 + 8 = 0$.

$P''(x) = 20x^3 - 12x^2 - 30x + 2$
$P''(-1) = 20(-1) - 12(1) - 30(-1) + 2 = -20 - 12 + 30 + 2 = 0$.

$P'''(x) = 60x^2 - 24x - 30$
$P'''(-1) = 60(1) - 24(-1) - 30 = 60 + 24 - 30 = 54 \neq 0$.

Корень $x=-1$ имеет кратность 3, значит, многочлен делится на $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
Выполним деление столбиком:

 x^2 - 4x + 4 ______________________x^3+3x^2+3x+1 | x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4 -(x^5 + 3x^4 + 3x^3 + x^2) ______________________ -4x^4 - 8x^3 + 0x^2 + 8x -(-4x^4 -12x^3 - 12x^2 - 4x) ______________________ 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 -(4x^3 + 12x^2 + 12x + 4) ______________________ 0

Получаем $P(x) = (x+1)^3(x^2 - 4x + 4)$.

Квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Окончательное разложение:
$x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4 = (x+1)^3(x-2)^2$.

Ответ: $(x+1)^3(x-2)^2$.

в) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4$.

Возможные целые корни — делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=1$:
$P(1) = 1 - 6 + 13 - 12 + 4 = 0$.
Проверим кратность корня $x=1$:
$P'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 12$
$P'(1) = 4 - 18 + 26 - 12 = 0$. Корень как минимум двойной.

$P''(x) = 12x^2 - 36x + 26$
$P''(1) = 12 - 36 + 26 = 2 \neq 0$. Корень $x=1$ имеет кратность 2.

Проверим $x=2$:
$P(2) = 2^4 - 6(2^3) + 13(2^2) - 12(2) + 4 = 16 - 48 + 52 - 24 + 4 = 0$.
Проверим кратность корня $x=2$:
$P'(2) = 4(2^3) - 18(2^2) + 26(2) - 12 = 32 - 72 + 52 - 12 = 0$. Корень как минимум двойной.

Так как многочлен имеет степень 4, а мы нашли два двойных корня $x=1$ и $x=2$, то разложение полностью определено. Старший коэффициент равен 1.

Окончательное разложение:
$x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 = (x-1)^2(x-2)^2$.

Ответ: $(x-1)^2(x-2)^2$.

г) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^8 - x^7 - 5x^6 + 3x^5 + 9x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 2$.

Возможные целые корни — делители числа 2: $\pm1, \pm2$.

Проверим $x=1$:
$P(1) = 1 - 1 - 5 + 3 + 9 - 3 - 7 + 1 + 2 = 0$.

Проверим $x=-1$:
$P(-1) = 1 - (-1) - 5(1) + 3(-1) + 9(1) - 3(-1) - 7(1) + (-1) + 2 = 1+1-5-3+9+3-7-1+2 = 0$.

Проверим $x=2$:
$P(2) = 2^8 - 2^7 - 5 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^5 + 9 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2^2 + 2 + 2 = 256 - 128 - 320 + 96 + 144 - 24 - 28 + 4 = 0$.

Теперь определим кратности этих корней.
Для $x=1$: $P(1)=0$, $P'(1)=0$, $P''(1)=0$, $P'''(1)=-96 \neq 0$. Значит, корень $x=1$ имеет кратность 3.

Для $x=-1$: $P(-1)=0$, $P'(-1)=0$, $P''(-1)=0$, $P'''(-1)=0$, $P^{(4)}(-1)=576 \neq 0$. Значит, корень $x=-1$ имеет кратность 4.

Мы нашли корни: $x=1$ (кратность 3), $x=-1$ (кратность 4), $x=2$ (кратность 1). Сумма кратностей $3+4+1=8$, что равно степени исходного многочлена. Старший коэффициент равен 1.

Таким образом, разложение на линейные множители имеет вид:
$P(x) = (x-1)^3(x+1)^4(x-2)$.

Ответ: $(x+1)^4(x-1)^3(x-2)$.