Номер 1.41, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.41, страница 17.

1.41. Для некоторого приведённого многочлена $p(x)$ указаны его степень и все его корни с учётом их кратностей. Требуется записать в таблице разложение $p(x)$ на множители:

a) Степень многочлена: 7

Корни кратности 1: 1; -3; 5

Корни кратности 2:

Корни кратности 3:

Корни кратности 4: 2

Разложение многочлена:

б) Степень многочлена: 12

Корни кратности 1: 0;

Корни кратности 2: -2; 3

Корни кратности 3: $\sqrt{3}$

Корни кратности 4: 0,7

Разложение многочлена:

в) Степень многочлена: 8

Корни кратности 1:

Корни кратности 2: 9

Корни кратности 3: $\pi$; -0,3

Корни кратности 4:

Разложение многочлена:

г) Степень многочлена: 5

Корни кратности 1:

Корни кратности 2: 2

Корни кратности 3: -3

Корни кратности 4:

Разложение многочлена:

а)

Общий вид разложения приведённого многочлена $p(x)$ степени $n$ на множители, если известны все его корни $c_1, c_2, \dots, c_m$ с кратностями $k_1, k_2, \dots, k_m$ соответственно, выглядит так: $p(x) = (x-c_1)^{k_1}(x-c_2)^{k_2}\dots(x-c_m)^{k_m}$, где сумма кратностей $\sum_{i=1}^{m} k_i = n$.

В данном случае степень многочлена $n=7$. Корни кратности 1: 1, -3, 5. Это даёт множители $(x-1)^1$, $(x-(-3))^1 = (x+3)^1$, $(x-5)^1$. Корень кратности 4: 2. Это даёт множитель $(x-2)^4$. Сумма кратностей равна $1+1+1+4 = 7$, что соответствует степени многочлена. Перемножив эти множители, получаем разложение многочлена $p(x)$.

Ответ: $p(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5)(x - 2)^4$

б)

Степень приведённого многочлена $p(x)$ равна 12. Корень кратности 1: 0. Множитель: $(x-0)^1 = x$. Корни кратности 2: -2, 3. Множители: $(x-(-2))^2 = (x+2)^2$ и $(x-3)^2$. Корень кратности 3: $\sqrt{3}$. Множитель: $(x-\sqrt{3})^3$. Корень кратности 4: 0,7. Множитель: $(x-0,7)^4$. Сумма кратностей: $1 + 2 + 2 + 3 + 4 = 12$. Это совпадает со степенью многочлена. Разложение является произведением этих множителей.

Ответ: $p(x) = x(x + 2)^2(x - 3)^2(x - \sqrt{3})^3(x - 0,7)^4$

в)

Степень приведённого многочлена $p(x)$ равна 8. Корень кратности 2: 9. Множитель: $(x-9)^2$. Корни кратности 3: $\pi$, -0,3. Множители: $(x-\pi)^3$ и $(x-(-0,3))^3 = (x+0,3)^3$. Сумма кратностей: $2 + 3 + 3 = 8$. Это совпадает со степенью многочлена. Разложение является произведением этих множителей.

Ответ: $p(x) = (x - 9)^2(x - \pi)^3(x + 0,3)^3$

г)

Степень приведённого многочлена $p(x)$ равна 5. Корень кратности 2: 2. Множитель: $(x-2)^2$. Корень кратности 3: -3. Множитель: $(x-(-3))^3 = (x+3)^3$. Сумма кратностей: $2+3=5$. Это совпадает со степенью многочлена. Разложение является произведением этих множителей.

Ответ: $p(x) = (x - 2)^2(x + 3)^3$