Номер 1.34, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.34, страница 15.

1.34. Докажите утверждение: при любом натуральном значении n многочлен $p(x) = 2x^n + 4x^{n-1} - 2^{n+2}$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Используя это утверждение, докажите, что:

a) $(2 \cdot 5^n + 4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n+2}) : 3;$

б) $(2 \cdot 9^n + 4 \cdot 9^{n-1} - 2^{n+2}) : 7;$

в) $(2 \cdot 7^{100} + 28 \cdot 7^{98} - 2^{102}) : 5;$

г) $(2(n + 3)^n + 4(n + 3)^{n-1} - 2^{n+2}) : (n + 1).$

Сначала докажем основное утверждение: многочлен $p(x) = 2x^n + 4x^{n-1} - 2^{n+2}$ делится на $(x-2)$ без остатка при любом натуральном значении $n$.

Для этого воспользуемся следствием из теоремы Безу: многочлен $p(x)$ делится на двучлен $(x-a)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $a$ является корнем многочлена, то есть $p(a)=0$.

В нашем случае $a=2$. Проверим, является ли $x=2$ корнем многочлена $p(x)$:

$p(2) = 2 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^{n-1} - 2^{n+2}$

Преобразуем слагаемые, используя свойства степеней:

$2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

$4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{2+(n-1)} = 2^{n+1}$

Подставим полученные выражения обратно в $p(2)$:

$p(2) = 2^{n+1} + 2^{n+1} - 2^{n+2} = 2 \cdot 2^{n+1} - 2^{n+2} = 2^{n+2} - 2^{n+2} = 0$

Поскольку $p(2)=0$, основное утверждение доказано. Теперь используем его для решения следующих задач.

a) Доказать, что $(2 \cdot 5^n + 4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n+2})$ делится на 3.

Данное выражение соответствует многочлену $p(x)$ при $x=5$. То есть, это $p(5)$.

Согласно доказанному утверждению, $p(x)$ делится на $(x-2)$. Следовательно, $p(5)$ должно делиться на $(5-2)$.

$5 - 2 = 3$.

Значит, выражение делится на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Доказать, что $(2 \cdot 9^n + 4 \cdot 9^{n-1} - 2^{n+2})$ делится на 7.

Это выражение является значением многочлена $p(x)$ при $x=9$, то есть $p(9)$.

Так как $p(x)$ делится на $(x-2)$, то $p(9)$ делится на $(9-2)$.

$9 - 2 = 7$.

Значит, выражение делится на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Доказать, что $(2 \cdot 7^{100} + 28 \cdot 7^{98} - 2^{102})$ делится на 5.

Преобразуем данное выражение, чтобы оно соответствовало виду $p(x)$.

Второе слагаемое: $28 \cdot 7^{98} = (4 \cdot 7) \cdot 7^{98} = 4 \cdot 7^1 \cdot 7^{98} = 4 \cdot 7^{99}$.

Третье слагаемое: $2^{102} = 2^{100+2}$.

Тогда выражение принимает вид: $2 \cdot 7^{100} + 4 \cdot 7^{99} - 2^{100+2}$.

Это в точности совпадает с многочленом $p(x)$ при $x=7$ и $n=100$. То есть, это $p(7)$ для $n=100$.

Так как $p(x)$ делится на $(x-2)$, то $p(7)$ делится на $(7-2)$.

$7 - 2 = 5$.

Значит, выражение делится на 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Доказать, что $(2(n+3)^n + 4(n+3)^{n-1} - 2^{n+2})$ делится на $(n+1)$.

Это выражение является значением многочлена $p(x)$ при $x = n+3$. То есть, это $p(n+3)$.

Так как $p(x)$ делится на $(x-2)$, то $p(n+3)$ делится на $((n+3)-2)$.

$(n+3) - 2 = n+1$.

Значит, выражение делится на $(n+1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.