Номер 1.28, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.28, страница 14.

1.28. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$ и заполните таблицу:

f(x) | a | Частное | Остаток ($f(a)$)

$x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ | 2 | |

$2x^4 + 7x^2 - 21x - 30$ | -1 | |

$x^7 - 2x^4 + 27x + 3$ | -2 | |

$3x^5 + 5x^4 + 11x^2 + 2x$ | 1 | |

f(x) = x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 7x² + 2x - 1, a = 2

Для деления многочлена $f(x) = x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 7x² + 2x - 1$ на двучлен $x - 2$, применим схему Горнера. В первой строке таблицы запишем коэффициенты многочлена $f(x)$, расположенные по убыванию степеней $x$. Это числа $1, -2, 3, -7, 2, -1$. Слева от них поместим значение $a = 2$.

	1	-2	3	-7	2	-1
2		$1 \cdot 2 = 2$	$0 \cdot 2 = 0$	$3 \cdot 2 = 6$	$-1 \cdot 2 = -2$	$0 \cdot 2 = 0$
	1	0	3	-1	0	-1

В последней строке таблицы получены коэффициенты частного (все, кроме последнего числа) и остаток (последнее число).
Коэффициенты частного: $1, 0, 3, -1, 0$. Степень частного на единицу меньше степени исходного многочлена, то есть равна $5-1=4$.
Частное: $q(x) = 1 \cdot x⁴ + 0 \cdot x³ + 3 \cdot x² - 1 \cdot x + 0 = x⁴ + 3x² - x$.
Остаток: $r = f(2) = -1$.

Ответ: Частное: $x⁴ + 3x² - x$. Остаток: -1.

---

f(x) = 2x⁴ + 7x² - 21x - 30, a = -1

Для деления многочлена $f(x) = 2x⁴ + 7x² - 21x - 30$ на двучлен $x - (-1) = x+1$, применим схему Горнера. Коэффициент при $x³$ равен нулю. Коэффициенты многочлена: $2, 0, 7, -21, -30$. Значение $a = -1$.

	2	0	7	-21	-30
-1		$2 \cdot (-1) = -2$	$-2 \cdot (-1) = 2$	$9 \cdot (-1) = -9$	$-30 \cdot (-1) = 30$
	2	-2	9	-30	0

Коэффициенты частного: $2, -2, 9, -30$. Степень частного равна $4-1=3$.
Частное: $q(x) = 2x³ - 2x² + 9x - 30$.
Остаток: $r = f(-1) = 0$.

Ответ: Частное: $2x³ - 2x² + 9x - 30$. Остаток: 0.

---

f(x) = x⁷ - 2x⁴ + 27x + 3, a = -2

Для деления многочлена $f(x) = x⁷ - 2x⁴ + 27x + 3$ на двучлен $x - (-2) = x+2$, применим схему Горнера. Коэффициенты при $x⁶, x⁵, x³, x²$ равны нулю. Коэффициенты многочлена: $1, 0, 0, -2, 0, 0, 27, 3$. Значение $a = -2$.

	1	0	0	-2	0	0	27	3
-2		-2	4	-8	20	-40	80	-214
	1	-2	4	-10	20	-40	107	-211

Коэффициенты частного: $1, -2, 4, -10, 20, -40, 107$. Степень частного равна $7-1=6$.
Частное: $q(x) = x⁶ - 2x⁵ + 4x⁴ - 10x³ + 20x² - 40x + 107$.
Остаток: $r = f(-2) = -211$.

Ответ: Частное: $x⁶ - 2x⁵ + 4x⁴ - 10x³ + 20x² - 40x + 107$. Остаток: -211.

---

f(x) = 3x⁵ + 5x⁴ + 11x² + 2x, a = 1

Для деления многочлена $f(x) = 3x⁵ + 5x⁴ + 11x² + 2x$ на двучлен $x - 1$, применим схему Горнера. Коэффициент при $x³$ и свободный член равны нулю. Коэффициенты многочлена: $3, 5, 0, 11, 2, 0$. Значение $a = 1$.

	3	5	0	11	2	0
1		$3 \cdot 1 = 3$	$8 \cdot 1 = 8$	$8 \cdot 1 = 8$	$19 \cdot 1 = 19$	$21 \cdot 1 = 21$
	3	8	8	19	21	21

Коэффициенты частного: $3, 8, 8, 19, 21$. Степень частного равна $5-1=4$.
Частное: $q(x) = 3x⁴ + 8x³ + 8x² + 19x + 21$.
Остаток: $r = f(1) = 21$.

Ответ: Частное: $3x⁴ + 8x³ + 8x² + 19x + 21$. Остаток: 21.