Номер 1.32, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.32, страница 15.

1.32. Используя схему Горнера, докажите, что число a является корнем многочлена p(x):

a) $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 10, a = 2;$

б) $p(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6, a = -1.5.$

a) p(x) = 2x⁴ - 3x³ + x - 10, a = 2;

Чтобы доказать, что число $a$ является корнем многочлена $p(x)$, необходимо показать, что значение многочлена в этой точке равно нулю, то есть $p(a) = 0$. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $p(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен $p(a)$. Схема Горнера является удобным способом для нахождения этого остатка. Если остаток равен нулю, то $a$ — корень многочлена.

Запишем коэффициенты многочлена $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 1x - 10$ в верхнюю строку таблицы. Важно не пропустить член с $x^2$, его коэффициент равен 0. Слева от таблицы запишем значение $a = 2$.

	$x^4$	$x^3$	$x^2$	$x^1$	$x^0$
	2	-3	0	1	-10
2	$\downarrow$	$2 \cdot 2 = 4$	$2 \cdot 1 = 2$	$2 \cdot 2 = 4$	$2 \cdot 5 = 10$
	2	$-3+4=1$	$0+2=2$	$1+4=5$	$-10+10=0$

Последнее число в нижней строке таблицы (в закрашенной ячейке) является остатком от деления $p(x)$ на $(x - 2)$. Остаток равен 0. Это означает, что $p(2) = 0$, и, следовательно, число $a=2$ является корнем многочлена $p(x)$. Остальные числа в нижней строке (2, 1, 2, 5) являются коэффициентами частного: $2x^3+x^2+2x+5$.

Ответ: Так как остаток от деления многочлена $p(x)$ на $(x - 2)$ по схеме Горнера равен 0, то число 2 является корнем многочлена, что и требовалось доказать.

б) p(x) = 2x³ + x² - 7x - 6, a = -1,5.

Аналогично предыдущему пункту применим схему Горнера для многочлена $p(x) = 2x^3 + 1x^2 - 7x - 6$ и числа $a = -1,5$.

Запишем коэффициенты многочлена в таблицу.

	$x^3$	$x^2$	$x^1$	$x^0$
	2	1	-7	-6
-1,5	$\downarrow$	$-1,5 \cdot 2 = -3$	$-1,5 \cdot (-2) = 3$	$-1,5 \cdot (-4) = 6$
	2	$1+(-3)=-2$	$-7+3=-4$	$-6+6=0$

Остаток от деления $p(x)$ на $(x - (-1,5)) = (x+1,5)$ равен 0. Это означает, что $p(-1,5) = 0$, и, следовательно, число $a=-1,5$ является корнем многочлена $p(x)$. Частное от деления равно $2x^2-2x-4$.

Ответ: Так как остаток от деления многочлена $p(x)$ на $(x + 1,5)$ по схеме Горнера равен 0, то число -1,5 является корнем многочлена, что и требовалось доказать.