Номер 1.26, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.26, страница 14.

1.26. При каких значениях параметров $a$ и $b$:

a) многочлен $p(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b$ делится без остатка на многочлен $t(x) = x^2 - 3x + 2;

б) многочлен $p(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2$ делится без остатка на многочлен $t(x) = x^2 + x + b?

а) Для того чтобы многочлен $p(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b$ делился на многочлен $t(x) = x^2 - 3x + 2$ без остатка, необходимо, чтобы корни многочлена $t(x)$ были также и корнями многочлена $p(x)$.

Найдем корни многочлена $t(x)$, решив уравнение:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь подставим эти значения в многочлен $p(x)$ и приравняем результат к нулю.

Для $x = 1$:

$p(1) = 1^4 - 3(1)^3 + 3(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 - 3 + 3 + a + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$a + b = -1$

Для $x = 2$:

$p(2) = 2^4 - 3(2)^3 + 3(2)^2 + a(2) + b = 0$

$16 - 3(8) + 3(4) + 2a + b = 0$

$16 - 24 + 12 + 2a + b = 0$

$4 + 2a + b = 0$

$2a + b = -4$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = -1 \\ 2a + b = -4 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2a + b) - (a + b) = -4 - (-1)$

$a = -3$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:

$-3 + b = -1$

$b = 2$

Ответ: $a = -3, b = 2$.

б) В данном случае находить корни многочлена $t(x) = x^2 + x + b$ неудобно, так как они зависят от параметра $b$. Воспользуемся методом деления многочленов в столбик. Многочлен $p(x)$ делится на $t(x)$ без остатка, если остаток от деления равен нулю.

Выполним деление многочлена $p(x) = x^4 - 2x^3 + 0x^2 + ax + 2$ на $t(x) = x^2 + x + b$.

В результате деления получаем частное $q(x) = x^2 - 3x + (3-b)$ и остаток $R(x) = (a + 4b - 3)x + (b^2 - 3b + 2)$.

Для того чтобы деление было без остатка, остаток $R(x)$ должен быть равен нулю для всех $x$. Это возможно только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.

Приравниваем коэффициенты остатка к нулю и получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a + 4b - 3 = 0 \\ b^2 - 3b + 2 = 0 \end{cases}$

Сначала решим второе уравнение относительно $b$:

$b^2 - 3b + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого $b_1 = 1$ и $b_2 = 2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $b = 1$.

Подставим это значение в первое уравнение системы:

$a + 4(1) - 3 = 0$

$a + 1 = 0$

$a = -1$

Таким образом, первая пара значений: $a = -1, b = 1$.

Случай 2: $b = 2$.

Подставим это значение в первое уравнение системы:

$a + 4(2) - 3 = 0$

$a + 8 - 3 = 0$

$a + 5 = 0$

$a = -5$

Таким образом, вторая пара значений: $a = -5, b = 2$.

Ответ: $a = -1, b = 1$ или $a = -5, b = 2$.