Номер 1.27, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.27, страница 14.

1.27. Для многочленов $f(x)$ и $p(x)$ найдите многочлены $q(x)$ и $r(x)$ такие, что $f(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$ и либо степень $r(x)$ меньше степени $p(x)$, либо $r(x)$ является нуль-многочленом:

$f(x)$: $3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$
$p(x)$: $x^2 - 3x - 2$

$f(x)$: $x^2 - 3x - 2$
$p(x)$: $3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$

$f(x)$: $12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$
$p(x)$: $4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$

$f(x)$: $4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$
$p(x)$: $12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$

$f(x)$: $x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$
$p(x)$: $x - 1$

$f(x)$: $x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$
$p(x)$: $x + 1$

$f(x)$: $x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$
$p(x)$: $7x - 7$

$f(x)$: $x^3 - 5x + 3$
$p(x)$: $3x - 1$

$f(x)$: $3x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$
$p(x)$: $3x - 1$

Для $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$ и $p(x) = x^2 - 3x - 2$

Для нахождения частного $q(x)$ и остатка $r(x)$ выполним деление многочлена $f(x)$ на $p(x)$ в столбик. Степень $f(x)$ равна 4, степень $p(x)$ равна 2, поэтому деление возможно.

 3x² + 7x + 27 ____________________x²-3x-2 | 3x⁴ - 2x³ + 0x² + 7x - 3 -(3x⁴ - 9x³ - 6x²) ____________________ 7x³ + 6x² + 7x -(7x³ - 21x² - 14x) ____________________ 27x² + 21x - 3 -(27x² - 81x - 54) ____________________ 102x + 51

Таким образом, частное $q(x) = 3x^2 + 7x + 27$, а остаток $r(x) = 102x + 51$. Степень остатка $r(x)$ (равная 1) меньше степени делителя $p(x)$ (равной 2), что удовлетворяет условию.

Ответ: $q(x) = 3x^2 + 7x + 27$, $r(x) = 102x + 51$.

Для $f(x) = x^2 - 3x - 2$ и $p(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$

В этом случае степень делимого $f(x)$ равна 2, а степень делителя $p(x)$ равна 4. Так как степень делимого меньше степени делителя ($\text{deg}(f) < \text{deg}(p)$), то частное равно нуль-многочлену, а остаток равен самому делимому.

$f(x) = 0 \cdot p(x) + f(x)$

Ответ: $q(x) = 0$, $r(x) = x^2 - 3x - 2$.

Для $f(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$ и $p(x) = 4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$

Сравним коэффициенты многочленов $f(x)$ и $p(x)$. Заметим, что каждый коэффициент многочлена $f(x)$ ровно в 3 раза больше соответствующего коэффициента многочлена $p(x)$.

$f(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33 = 3(4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11) = 3 \cdot p(x)$.

Следовательно, $f(x)$ делится на $p(x)$ нацело. Тогда $f(x) = 3 \cdot p(x) + 0$.

Ответ: $q(x) = 3$, $r(x) = 0$.

Для $f(x) = 4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$ и $p(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$

Эта задача обратна предыдущей. Заметим, что $p(x) = 3 \cdot f(x)$. Отсюда можно выразить $f(x)$:

$f(x) = \frac{1}{3} p(x)$.

Следовательно, $f(x) = \frac{1}{3} \cdot p(x) + 0$.

Ответ: $q(x) = \frac{1}{3}$, $r(x) = 0$.

Для $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$ и $p(x) = x - 1$

Поскольку делитель является линейным двучленом вида $x-c$, для нахождения частного и остатка удобно использовать схему Горнера (или синтетическое деление) с $c=1$.

 | 1 -7 6 -5 -191 | 1 -6 0 -5--|-------------------- | 1 -6 0 -5 -24

Последнее число в нижней строке, -24, является остатком. Остальные числа являются коэффициентами частного. Степень частного на единицу меньше степени делимого, т.е. равна 3.

$q(x) = x^3 - 6x^2 + 0x - 5 = x^3 - 6x^2 - 5$.

$r(x) = -24$.

Ответ: $q(x) = x^3 - 6x^2 - 5$, $r(x) = -24$.

Для $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$ и $p(x) = x + 1$

Используем схему Горнера с $c=-1$, так как $p(x) = x - (-1)$.

 | 1 -7 6 -5 -19-1 | -1 8 -14 19---|---------------------- | 1 -8 14 -19 0

Остаток равен 0, что означает, что $f(x)$ делится на $p(x)$ нацело. Коэффициенты частного: 1, -8, 14, -19.

$q(x) = x^3 - 8x^2 + 14x - 19$.

$r(x) = 0$.

Ответ: $q(x) = x^3 - 8x^2 + 14x - 19$, $r(x) = 0$.

Для $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$ и $p(x) = 7x - 7$

Можно использовать результат деления $f(x)$ на $(x-1)$ из пятого пункта: $f(x) = (x-1)(x^3 - 6x^2 - 5) - 24$.

Делитель $p(x) = 7x - 7 = 7(x-1)$. Выразим $f(x)$ через $p(x)$:

$f(x) = \frac{7(x-1)}{7} (x^3 - 6x^2 - 5) - 24 = (7x-7) \cdot \frac{1}{7}(x^3 - 6x^2 - 5) - 24$.

Таким образом, $p(x) = 7x-7$, $q(x) = \frac{1}{7}(x^3 - 6x^2 - 5)$ и $r(x) = -24$.

Ответ: $q(x) = \frac{1}{7}x^3 - \frac{6}{7}x^2 - \frac{5}{7}$, $r(x) = -24$.

Для $f(x) = x^3 - 5x + 3$ и $p(x) = 3x - 1$

Выполним деление многочленов в столбик. $f(x) = x^3 + 0x^2 - 5x + 3$.

 (1/3)x² + (1/9)x - 44/27 ___________________________3x-1 | x³ + 0x² - 5x + 3 -(x³ - (1/3)x²) ___________________________ (1/3)x² - 5x -((1/3)x² - (1/9)x) ___________________________ (-44/9)x + 3 -((-44/9)x + 44/27) ___________________________ 37/27

Частное $q(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{44}{27}$, остаток $r(x) = \frac{37}{27}$.

Ответ: $q(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{44}{27}$, $r(x) = \frac{37}{27}$.

Для $f(x) = 3x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ и $p(x) = 3x - 1$

Выполним деление многочленов в столбик.

 x⁴ - (1/3)x³ + (8/9)x² - (55/27)x - 1/81 __________________________________________________3x-1 | 3x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 7x² + 2x - 1 -(3x⁵ - x⁴) __________________________________________________ -x⁴ + 3x³ -(-x⁴ + (1/3)x³) __________________________________________________ (8/3)x³ - 7x² -((8/3)x³ - (8/9)x²) __________________________________________________ (-55/9)x² + 2x -((-55/9)x² + (55/27)x) __________________________________________ (-1/27)x - 1 -((-1/27)x + 1/81) _______________________ -82/81

Частное $q(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{9}x^2 - \frac{55}{27}x - \frac{1}{81}$, остаток $r(x) = -\frac{82}{81}$.

Ответ: $q(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{9}x^2 - \frac{55}{27}x - \frac{1}{81}$, $r(x) = -\frac{82}{81}$.