Номер 1.27, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1.27. Для многочленов $f(x)$ и $p(x)$ найдите многочлены $q(x)$ и $r(x)$ такие, что $f(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$ и либо степень $r(x)$ меньше степени $p(x)$, либо $r(x)$ является нуль-многочленом:

Для нахождения многочленов частного $q(x)$ и остатка $r(x)$ воспользуемся алгоритмом деления многочленов «уголком» или методом неопределённых коэффициентов. Согласно условию, $f(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$.

1) $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$, $p(x) = x^2 - 3x - 2$

Выполним деление: $3x^4$ делим на $x^2$, получаем $3x^2$. Последовательно вычитая произведения, получаем:

• $q(x) = 3x^2 + 7x + 27$
• $r(x) = 102x + 51$

2) $f(x) = x^2 - 3x - 2$, $p(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$

Так как степень делимого меньше степени делителя ($\text{deg } f < \text{deg } p$):

• $q(x) = 0$
• $r(x) = x^2 - 3x - 2$

3) $f(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$, $p(x) = 4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$

Заметим, что все коэффициенты $f(x)$ ровно в 3 раза больше соответствующих коэффициентов $p(x)$:

• $q(x) = 3$
• $r(x) = 0$ (нуль-многочлен)

4) $f(x) = 4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$, $p(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$

Здесь $f(x) = \frac{1}{3} p(x)$:

• $q(x) = \frac{1}{3}$
• $r(x) = 0$

5) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$, $p(x) = x - 1$

Используя схему Горнера для $x = 1$:

• $q(x) = x^3 - 6x^2 - 5$
• $r(x) = -24$

6) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$, $p(x) = x + 1$

Используя схему Горнера для $x = -1$:

• $q(x) = x^3 - 8x^2 + 14x - 19$
• $r(x) = 0$

7) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$, $p(x) = 7x - 7$

Так как $p(x) = 7(x - 1)$, используем результат пункта 5, разделив частное на 7:

• $q(x) = \frac{1}{7}x^3 - \frac{6}{7}x^2 - \frac{5}{7}$
• $r(x) = -24$

8) $f(x) = x^3 - 5x + 3$, $p(x) = 3x - 1$

При делении на двучлен первой степени:

• $q(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{44}{27}$
• $r(x) = \frac{37}{27}$

9) $f(x) = 3x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$, $p(x) = 3x - 1$

Последовательное деление дает:

• $q(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{9}x^2 - \frac{55}{27}x - \frac{1}{81}$
• $r(x) = -\frac{82}{81}$