Номер 1.23, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.23, страница 13.

1.23. Выполните деление уголком:

а) $x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ на $x^2 - 3x - 1$;

б) $2x^5 - 3x^3 - x + 2$ на $x - 2$;

в) $x^3 + 2x^2 + x + 3$ на $2x^2 - 3x - 4$;

г) $6x^4 - 2x + 3$ на $2x + 3$.

а)

Выполним деление многочлена $x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ на многочлен $x^2 - 3x - 1$ столбиком.

1. Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $x$. Это первый член частного. Умножаем $x$ на делитель $x^2 - 3x - 1$ и вычитаем результат из делимого:
   $(x^3 - 2x^2 + 3x - 5) - x(x^2 - 3x - 1) = (x^3 - 2x^2 + 3x - 5) - (x^3 - 3x^2 - x) = x^2 + 4x - 5$.
2. Делим старший член нового многочлена ($x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $1$. Это второй член частного. Умножаем $1$ на делитель и вычитаем результат из $x^2 + 4x - 5$:
   $(x^2 + 4x - 5) - 1(x^2 - 3x - 1) = (x^2 + 4x - 5) - (x^2 - 3x - 1) = 7x - 4$.

Степень остатка $7x - 4$ (равна 1) меньше степени делителя $x^2 - 3x - 1$ (равна 2), поэтому деление окончено.

Таким образом, частное (неполное частное) равно $x + 1$, а остаток от деления равен $7x - 4$.

Ответ: Частное $x + 1$, остаток $7x - 4$.

б)

Выполним деление многочлена $2x^5 - 3x^3 - x + 2$ на $x - 2$. Для удобства записи в делимом представим пропущенные степени с нулевыми коэффициентами: $2x^5 + 0x^4 - 3x^3 + 0x^2 - x + 2$.

1. Делим $2x^5$ на $x$, получаем $2x^4$. Остаток: $(2x^5 + 0x^4 - 3x^3 + ...) - 2x^4(x - 2) = 4x^4 - 3x^3 + ...$.
2. Делим $4x^4$ на $x$, получаем $4x^3$. Остаток: $(4x^4 - 3x^3 + ...) - 4x^3(x - 2) = 5x^3 + 0x^2 + ...$.
3. Делим $5x^3$ на $x$, получаем $5x^2$. Остаток: $(5x^3 + 0x^2 + ...) - 5x^2(x - 2) = 10x^2 - x + ...$.
4. Делим $10x^2$ на $x$, получаем $10x$. Остаток: $(10x^2 - x + ...) - 10x(x - 2) = 19x + 2$.
5. Делим $19x$ на $x$, получаем $19$. Остаток: $(19x + 2) - 19(x - 2) = 40$.

Степень остатка $40$ (равна 0) меньше степени делителя $x - 2$ (равна 1), поэтому деление окончено.

Частное равно $2x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 10x + 19$, а остаток равен $40$.

Ответ: Частное $2x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 10x + 19$, остаток $40$.

в)

Выполним деление многочлена $x^3 + 2x^2 + x + 3$ на $2x^2 - 3x - 4$.

1. Делим $x^3$ на $2x^2$, получаем $\frac{1}{2}x$. Остаток: $(x^3 + 2x^2 + x + 3) - \frac{1}{2}x(2x^2 - 3x - 4) = (x^3 + 2x^2 + x + 3) - (x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x) = \frac{7}{2}x^2 + 3x + 3$.
2. Делим $\frac{7}{2}x^2$ на $2x^2$, получаем $\frac{7}{4}$. Остаток: $(\frac{7}{2}x^2 + 3x + 3) - \frac{7}{4}(2x^2 - 3x - 4) = (\frac{7}{2}x^2 + 3x + 3) - (\frac{7}{2}x^2 - \frac{21}{4}x - 7) = (3 + \frac{21}{4})x + (3 + 7) = \frac{33}{4}x + 10$.

Степень остатка $\frac{33}{4}x + 10$ (равна 1) меньше степени делителя $2x^2 - 3x - 4$ (равна 2), поэтому деление окончено.

Частное равно $\frac{1}{2}x + \frac{7}{4}$, а остаток равен $\frac{33}{4}x + 10$.

Ответ: Частное $\frac{1}{2}x + \frac{7}{4}$, остаток $\frac{33}{4}x + 10$.

г)

Выполним деление многочлена $6x^4 - 2x + 3$ на $2x + 3$. Представим делимое в виде $6x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 2x + 3$.

1. Делим $6x^4$ на $2x$, получаем $3x^3$. Остаток: $(6x^4 + 0x^3 + ...) - 3x^3(2x + 3) = -9x^3 + 0x^2 + ...$.
2. Делим $-9x^3$ на $2x$, получаем $-\frac{9}{2}x^2$. Остаток: $(-9x^3 + 0x^2 + ...) - (-\frac{9}{2}x^2)(2x + 3) = \frac{27}{2}x^2 - 2x + ...$.
3. Делим $\frac{27}{2}x^2$ на $2x$, получаем $\frac{27}{4}x$. Остаток: $(\frac{27}{2}x^2 - 2x + ...) - \frac{27}{4}x(2x + 3) = (-2 - \frac{81}{4})x + 3 = -\frac{89}{4}x + 3$.
4. Делим $-\frac{89}{4}x$ на $2x$, получаем $-\frac{89}{8}$. Остаток: $(-\frac{89}{4}x + 3) - (-\frac{89}{8})(2x + 3) = 3 + \frac{267}{8} = \frac{24+267}{8} = \frac{291}{8}$.

Степень остатка $\frac{291}{8}$ (равна 0) меньше степени делителя $2x + 3$ (равна 1), поэтому деление окончено.

Частное равно $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$, а остаток равен $\frac{291}{8}$.

Ответ: Частное $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$, остаток $\frac{291}{8}$.