Номер 1.29, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.29, страница 15.

1.29. Найдите остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен

$(x - a)$ и значение $f(x)$ в точке $x = a$:

а) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 11, a = -3;$

б) $f(x) = x^7 + 3x^6 - x^3 - 12x^2 + 1, a = -2;$

в) $f(x) = 3x^4 - x^2 + x - 31, a = 2;$

г) $f(x) = 2x^6 - 3x^5 + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 100, a = -1.$

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $f(a)$. Таким образом, для решения задачи в каждом пункте достаточно найти значение функции $f(x)$ в точке $x = a$.

а) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 11$, $a = -3$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = -3$:

$f(-3) = (-3)^3 - 4(-3)^2 + 3(-3) + 11 = -27 - 4 \cdot 9 - 9 + 11 = -27 - 36 - 9 + 11 = -72 + 11 = -61$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - (-3)) = (x+3)$ равен -61, и значение $f(x)$ в точке $x=-3$ также равно -61.

Ответ: Остаток равен -61, значение $f(-3) = -61$.

б) $f(x) = x^7 + 3x^6 - x^3 - 12x^2 + 1$, $a = -2$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^7 + 3(-2)^6 - (-2)^3 - 12(-2)^2 + 1 = -128 + 3 \cdot 64 - (-8) - 12 \cdot 4 + 1 = -128 + 192 + 8 - 48 + 1 = 25$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - (-2)) = (x+2)$ равен 25, и значение $f(x)$ в точке $x=-2$ также равно 25.

Ответ: Остаток равен 25, значение $f(-2) = 25$.

в) $f(x) = 3x^4 - x^2 + x - 31$, $a = 2$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = 2$:

$f(2) = 3 \cdot 2^4 - 2^2 + 2 - 31 = 3 \cdot 16 - 4 + 2 - 31 = 48 - 4 + 2 - 31 = 15$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - 2)$ равен 15, и значение $f(x)$ в точке $x=2$ также равно 15.

Ответ: Остаток равен 15, значение $f(2) = 15$.

г) $f(x) = 2x^6 - 3x^5 + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 100$, $a = -1$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = -1$:

$f(-1) = 2(-1)^6 - 3(-1)^5 + 2(-1)^3 - 4(-1)^2 - 2(-1) + 100 = 2 \cdot 1 - 3(-1) + 2(-1) - 4 \cdot 1 + 2 + 100 = 2 + 3 - 2 - 4 + 2 + 100 = 101$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - (-1)) = (x+1)$ равен 101, и значение $f(x)$ в точке $x=-1$ также равно 101.

Ответ: Остаток равен 101, значение $f(-1) = 101$.