Номер 1.36, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.36, страница 16.

•1.36. При каких значениях параметра a заданный многочлен имеет кратные корни:

a) $(2x + 5)(3x - 1)(x - a)(x - 2a);$

б) $(x^2 - (3a - 2)x - 6a)(x^2 - (5a + 3)x + a)(x - 2)$?

Многочлен имеет кратные корни, если хотя бы два из его корней совпадают. Поскольку многочлены представлены в виде произведения сомножителей, их корни – это объединение корней каждого из сомножителей.

а) (2x + 5)(3x - 1)(x - a)(x - 2a)

Найдем корни каждого сомножителя, приравняв его к нулю:

• $2x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -2.5$
• $3x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1/3$
• $x - a = 0 \Rightarrow x_3 = a$
• $x - 2a = 0 \Rightarrow x_4 = 2a$

Кратные корни появятся, если какие-либо из этих корней окажутся равными. Так как $x_1 \neq x_2$, необходимо приравнять корни, зависящие от параметра $a$, к другим корням.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Корень $x_3$ совпадает с другими корнями:
   • $a = x_1 \Rightarrow a = -2.5$
   • $a = x_2 \Rightarrow a = 1/3$
2. Корень $x_4$ совпадает с другими корнями:
   • $2a = x_1 \Rightarrow 2a = -2.5 \Rightarrow a = -1.25$
   • $2a = x_2 \Rightarrow 2a = 1/3 \Rightarrow a = 1/6$
3. Корни, зависящие от параметра, равны между собой:
   • $x_3 = x_4 \Rightarrow a = 2a \Rightarrow a = 0$

Объединяя все найденные значения, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-2.5; -1.25; 0; 1/6; 1/3\}$.

б) (x² - (3a - 2)x - 6a)(x² - (5a + 3)x + a)(x - 2)

Найдем корни каждого сомножителя.

1. Для первого квадратного трехчлена $x^2 - (3a - 2)x - 6a = 0$:
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3a - 2$, а их произведение $x_1 x_2 = -6a$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3a$ и $x_2 = -2$.
Проверим: $3a + (-2) = 3a - 2$; $(3a)(-2) = -6a$. Корни найдены верно.
Таким образом, первый сомножитель раскладывается как $(x - 3a)(x + 2)$.

2. Для второго квадратного трехчлена $x^2 - (5a + 3)x + a = 0$:
Кратный корень может возникнуть, если дискриминант этого трехчлена равен нулю.
$D = (-(5a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 25a^2 + 30a + 9 - 4a = 25a^2 + 26a + 9$.
Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения относительно $a$: $D_a = 26^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 676 - 900 = -224 < 0$.
Так как $D_a < 0$ и коэффициент при $a^2$ положителен, то $25a^2 + 26a + 9 > 0$ при любых $a$. Следовательно, второй трехчлен всегда имеет два различных корня и сам по себе кратных корней не порождает.
Примечание: В подобных задачах часто встречаются опечатки. Если бы свободный член был $15a$, трехчлен бы легко раскладывался на $(x-5a)(x-3)$. Однако будем решать задачу в том виде, как она дана.

3. Для линейного множителя $x - 2 = 0$ корень $x_3 = 2$.

Итак, мы имеем набор корней: $3a$, $-2$, $2$ и два различных корня уравнения $x^2 - (5a + 3)x + a = 0$.

Кратные корни возникают в следующих случаях:

1. Один из известных корней ($3a$, $-2$ или $2$) является также корнем уравнения $x^2 - (5a + 3)x + a = 0$.
   • Подставим $x = 3a$:
     $(3a)^2 - (5a + 3)(3a) + a = 0$
     $9a^2 - (15a^2 + 9a) + a = 0$
     $9a^2 - 15a^2 - 9a + a = 0$
     $-6a^2 - 8a = 0$
     $-2a(3a + 4) = 0 \Rightarrow a_1 = 0, a_2 = -4/3$.
   • Подставим $x = -2$:
     $(-2)^2 - (5a + 3)(-2) + a = 0$
     $4 - (-10a - 6) + a = 0$
     $4 + 10a + 6 + a = 0$
     $11a + 10 = 0 \Rightarrow a_3 = -10/11$.
   • Подставим $x = 2$:
     $(2)^2 - (5a + 3)(2) + a = 0$
     $4 - (10a + 6) + a = 0$
     $4 - 10a - 6 + a = 0$
     $-9a - 2 = 0 \Rightarrow a_4 = -2/9$.
2. Известные корни совпадают между собой.
   • $3a = -2 \Rightarrow a_5 = -2/3$.
   • $3a = 2 \Rightarrow a_6 = 2/3$.

Объединяем все найденные значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-4/3; -10/11; -2/3; -2/9; 0; 2/3\}$.