Номер 1.30, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.30, страница 15.

1.30. Докажите, что остаток от деления многочлена $f(x)$ на дву-член $(kx - p)$, $k \neq 0$, равен значению этого многочлена в точке $x = \frac{p}{k}$.

Для доказательства воспользуемся теоремой о делении многочленов с остатком. Согласно этой теореме, для любого многочлена $f(x)$ и делителя $(kx - p)$, где $k \neq 0$, существуют единственные многочлены $q(x)$ (частное) и $r(x)$ (остаток), такие, что выполняется следующее тождество:

$f(x) = (kx - p) \cdot q(x) + r(x)$

Степень многочлена-остатка $r(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $(kx - p)$.

Поскольку делитель $(kx - p)$ является многочленом первой степени (так как по условию $k \neq 0$), степень остатка $r(x)$ должна быть меньше 1. Это означает, что степень остатка равна 0, то есть $r(x)$ является константой (числом). Обозначим эту константу как $R$.

Таким образом, наше тождество принимает вид:

$f(x) = (kx - p) \cdot q(x) + R$

Это равенство является тождеством, то есть оно справедливо для любого значения переменной $x$. Чтобы найти значение $R$, подставим в это тождество корень двучлена $(kx - p)$. Найдем этот корень из уравнения:

$kx - p = 0 \implies kx = p \implies x = \frac{p}{k}$

Подставим значение $x = \frac{p}{k}$ в тождество:

$f\left(\frac{p}{k}\right) = \left(k \cdot \frac{p}{k} - p\right) \cdot q\left(\frac{p}{k}\right) + R$

$f\left(\frac{p}{k}\right) = (p - p) \cdot q\left(\frac{p}{k}\right) + R$

$f\left(\frac{p}{k}\right) = 0 \cdot q\left(\frac{p}{k}\right) + R$

$f\left(\frac{p}{k}\right) = R$

Таким образом, мы показали, что остаток $R$ от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(kx - p)$ равен значению этого многочлена в точке $x = \frac{p}{k}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(kx-p)$ равен $f\left(\frac{p}{k}\right)$.