Номер 1.25, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.25, страница 14.

1.25. a) Докажите, что многочлен $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ делится без остатка на многочлен $q(x) = 2x^2 + 8x - 2$.

б) Докажите, что многочлен $t(x) = -5x^2 + 4x - 4$ является делителем многочлена $l(x) = 5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8$.

а)

Чтобы доказать, что многочлен $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ делится без остатка на многочлен $q(x) = 2x^2 + 8x - 2$, выполним деление многочленов столбиком.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($2x^2$), чтобы найти первый член частного: $\frac{x^3}{2x^2} = \frac{1}{2}x$

Шаг 2: Умножаем первый член частного ($\frac{1}{2}x$) на делитель $q(x)$: $\frac{1}{2}x \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^3 + 4x^2 - x$

Шаг 3: Вычитаем полученный результат из делимого $p(x)$: $(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - x) = x^2 + 4x - 1$

Шаг 4: Делим старший член нового делимого ($x^2$) на старший член делителя ($2x^2$), чтобы найти второй член частного: $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

Шаг 5: Умножаем второй член частного ($\frac{1}{2}$) на делитель $q(x)$: $\frac{1}{2} \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^2 + 4x - 1$

Шаг 6: Вычитаем полученный результат из остатка от предыдущего шага: $(x^2 + 4x - 1) - (x^2 + 4x - 1) = 0$

Остаток от деления равен 0. Следовательно, многочлен $p(x)$ делится на многочлен $q(x)$ без остатка. Частное равно $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при делении многочлена $p(x)$ на $q(x)$ остаток равен нулю.

б)

Чтобы доказать, что многочлен $t(x) = -5x^2 + 4x - 4$ является делителем многочлена $l(x) = 5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8$, нужно показать, что $l(x)$ делится на $t(x)$ без остатка. Выполним деление столбиком.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($5x^4$) на старший член делителя ($-5x^2$): $\frac{5x^4}{-5x^2} = -x^2$

Шаг 2: Умножаем первый член частного ($-x^2$) на делитель $t(x)$: $-x^2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = 5x^4 - 4x^3 + 4x^2$

Шаг 3: Вычитаем результат из делимого $l(x)$: $(5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8) - (5x^4 - 4x^3 + 4x^2) = -5x^3 - 6x^2 + 4x - 8$

Шаг 4: Делим старший член нового делимого ($-5x^3$) на старший член делителя ($-5x^2$): $\frac{-5x^3}{-5x^2} = x$

Шаг 5: Умножаем второй член частного ($x$) на делитель $t(x)$: $x \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -5x^3 + 4x^2 - 4x$

Шаг 6: Вычитаем результат из остатка от предыдущего шага: $(-5x^3 - 6x^2 + 4x - 8) - (-5x^3 + 4x^2 - 4x) = -10x^2 + 8x - 8$

Шаг 7: Делим старший член нового делимого ($-10x^2$) на старший член делителя ($-5x^2$): $\frac{-10x^2}{-5x^2} = 2$

Шаг 8: Умножаем третий член частного ($2$) на делитель $t(x)$: $2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -10x^2 + 8x - 8$

Шаг 9: Вычитаем результат из остатка от предыдущего шага: $(-10x^2 + 8x - 8) - (-10x^2 + 8x - 8) = 0$

Остаток от деления равен 0. Это означает, что $l(x)$ делится на $t(x)$ нацело, а значит $t(x)$ является делителем $l(x)$. Частное равно $-x^2 + x + 2$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при делении многочлена $l(x)$ на $t(x)$ остаток равен нулю, что означает, что $t(x)$ является делителем $l(x)$.