Номер 1.21, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.21, страница 13.

1.21. Пусть $p(x)$ — многочлен степени $k$ и при всех значениях $x$ справедливо равенство $p(-x) = p(x)$. Докажите, что:

а) $k$ — чётное натуральное число или нуль;

б) коэффициенты многочлена $p(x)$ при нечётных степенях $x$ равны нулю.

Пусть многочлен $p(x)$ степени $k$ имеет общий вид: $p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i x^i$, где $a_i$ — коэффициенты многочлена, и по определению степени $a_k \neq 0$.

Запишем выражение для $p(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$: $p(-x) = a_k (-x)^k + a_{k-1} (-x)^{k-1} + \dots + a_1 (-x) + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i (-x)^i$.

Используя свойство $(-x)^i = (-1)^i x^i$, получим: $p(-x) = \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i x^i$.

По условию задачи, для всех значений $x$ справедливо равенство $p(x) = p(-x)$. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Следовательно, для любого $i$ от $0$ до $k$ должно выполняться равенство: $a_i = a_i (-1)^i$.

Перенесем все члены в одну сторону: $a_i - a_i (-1)^i = 0$ $a_i (1 - (-1)^i) = 0$.

Проанализируем это уравнение для двух случаев: когда $i$ нечётное и когда $i$ чётное.

б) коэффициенты многочлена p(x) при нечётных степенях x равны нулю.

Пусть $i$ — нечётное натуральное число. Тогда $(-1)^i = -1$. Подставим это значение в наше уравнение $a_i (1 - (-1)^i) = 0$: $a_i (1 - (-1)) = 0$ $a_i (1 + 1) = 0$ $2a_i = 0$ Из этого следует, что $a_i = 0$.

Таким образом, мы доказали, что все коэффициенты при нечётных степенях $x$ (т.е. $a_1, a_3, a_5, \dots$) равны нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

а) k — чётное натуральное число или нуль;

Степень многочлена $p(x)$ по условию равна $k$. Это означает, что коэффициент при старшей степени $x^k$, то есть $a_k$, не равен нулю ($a_k \neq 0$).

Из доказательства в пункте б) мы знаем, что если степень $i$ нечётна, то соответствующий коэффициент $a_i$ равен нулю.

Предположим, что $k$ — нечётное число. В этом случае, согласно нашему выводу, коэффициент $a_k$ должен быть равен нулю. Однако это противоречит тому, что степень многочлена равна $k$ ($a_k \neq 0$).

Следовательно, наше предположение о нечётности $k$ неверно. Так как степень многочлена $k$ является неотрицательным целым числом, и она не может быть нечётной, то $k$ должно быть чётным числом. Это означает, что $k$ — чётное натуральное число ($2, 4, 6, \dots$) или нуль.

Ответ: Утверждение доказано.