Номер 1.15, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.15, страница 12.

1.15. Докажите, что:

а) сумма всех коэффициентов при чётных степенях многочлена $f(x)$, записанного в стандартном виде, равна $0,5(f(1) + f(-1))$;

б) сумма всех коэффициентов при нечётных степенях многочлена $f(x)$, записанного в стандартном виде, равна $0,5(f(1) - f(-1))$.

а)

Пусть многочлен $f(x)$ записан в стандартном виде (канонической форме):

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$

где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — его коэффициенты.

Сумма коэффициентов при чётных степенях переменной $x$ (включая свободный член $a_0 = a_0 x^0$) обозначается как:

$S_{чёт} = a_0 + a_2 + a_4 + \dots$

Сумма коэффициентов при нечётных степенях переменной $x$ обозначается как:

$S_{нечёт} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots$

Найдем значение многочлена в точках $x=1$ и $x=-1$.

При $x=1$ получаем сумму всех коэффициентов:

$f(1) = a_n (1)^n + a_{n-1} (1)^{n-1} + \dots + a_1 (1) + a_0 = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$

Таким образом, $f(1) = S_{чёт} + S_{нечёт}$.

При $x=-1$ получаем:

$f(-1) = a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + \dots + a_2 (-1)^2 + a_1 (-1) + a_0$

Учитывая, что $(-1)^k = 1$ для чётных $k$ и $(-1)^k = -1$ для нечётных $k$, выражение принимает вид:

$f(-1) = (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots)$

Таким образом, $f(-1) = S_{чёт} - S_{нечёт}$.

Теперь составим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} f(1) = S_{чёт} + S_{нечёт} \\ f(-1) = S_{чёт} - S_{нечёт} \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$f(1) + f(-1) = (S_{чёт} + S_{нечёт}) + (S_{чёт} - S_{нечёт})$

$f(1) + f(-1) = 2 \cdot S_{чёт}$

Отсюда выражаем сумму коэффициентов при чётных степенях:

$S_{чёт} = \frac{f(1) + f(-1)}{2} = 0.5(f(1) + f(-1))$

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

б)

Воспользуемся системой уравнений, полученной в пункте а):

$\begin{cases} f(1) = S_{чёт} + S_{нечёт} \\ f(-1) = S_{чёт} - S_{нечёт} \end{cases}$

где $S_{чёт}$ — сумма коэффициентов при чётных степенях, а $S_{нечёт}$ — сумма коэффициентов при нечётных степенях.

Вычтем второе уравнение из первого:

$f(1) - f(-1) = (S_{чёт} + S_{нечёт}) - (S_{чёт} - S_{нечёт})$

$f(1) - f(-1) = S_{чёт} + S_{нечёт} - S_{чёт} + S_{нечёт}$

$f(1) - f(-1) = 2 \cdot S_{нечёт}$

Отсюда выражаем сумму коэффициентов при нечётных степенях:

$S_{нечёт} = \frac{f(1) - f(-1)}{2} = 0.5(f(1) - f(-1))$

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.