Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.13. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена p(x):

a) $p(x) = (3x^2 - x + 1)^{17} + (x^3 + 5x + 1)^{11}$;

б) $p(x) = (x^6 - 2x + 64)^3 - (x^9 + x^8 - 512)^2$;

в) $p(x) = (81x^4 - 36x^2 + 4)^5 - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13}$;

г) $p(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$.

а) $p(x) = (3x^2 - x + 1)^{17} + (x^3 + 5x + 1)^{11}$

Для определения степени многочлена, найдем степени каждого слагаемого и выберем наибольшую.

Степень первого слагаемого $(3x^2 - x + 1)^{17}$ равна степени его основы (2), умноженной на показатель степени (17): $2 \cdot 17 = 34$.

Степень второго слагаемого $(x^3 + 5x + 1)^{11}$ равна степени его основы (3), умноженной на показатель степени (11): $3 \cdot 11 = 33$.

Наибольшая степень из двух слагаемых – 34. Следовательно, степень многочлена $p(x)$ равна 34.

Старший коэффициент – это коэффициент при члене с наивысшей степенью. Этот член происходит из первого слагаемого: $(3x^2)^{17} = 3^{17} \cdot (x^2)^{17} = 3^{17}x^{34}$. Старший коэффициент равен $3^{17}$.

Свободный член многочлена – это значение многочлена при $x=0$, то есть $p(0)$. $p(0) = (3 \cdot 0^2 - 0 + 1)^{17} + (0^3 + 5 \cdot 0 + 1)^{11} = 1^{17} + 1^{11} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: степень многочлена 34, старший коэффициент $3^{17}$, свободный член 2.

б) $p(x) = (x^6 - 2x + 64)^3 - (x^9 + x^8 - 512)^2$

Найдем степени каждого члена.

Степень первого члена $(x^6 - 2x + 64)^3$ равна $6 \cdot 3 = 18$.

Степень второго члена $(x^9 + x^8 - 512)^2$ равна $9 \cdot 2 = 18$.

Поскольку степени обоих членов равны, необходимо проверить, не сокращаются ли старшие члены. Старший член первого выражения: $(x^6)^3 = x^{18}$. Старший член второго выражения: $(x^9)^2 = x^{18}$. При вычитании они взаимно уничтожаются: $x^{18} - x^{18} = 0$.

Значит, степень многочлена $p(x)$ меньше 18. Найдем следующие по старшинству члены, используя формулу бинома Ньютона $(a+b)^n = a^n + na^{n-1}b + \dots$.

Для $(x^6 - 2x + 64)^3$: $a=x^6, b=-2x+64$. Первые два члена разложения: $(x^6)^3 + 3(x^6)^2(-2x+64) + \dots = x^{18} - 6x^{13} + 192x^{12} + \dots$

Для $(x^9 + x^8 - 512)^2$: $a=x^9, b=x^8-512$. Первые два члена разложения: $(x^9)^2 + 2(x^9)(x^8-512) + \dots = x^{18} + 2x^{17} - 1024x^9 + \dots$

Теперь найдем разность: $p(x) = (x^{18} - 6x^{13} + \dots) - (x^{18} + 2x^{17} - \dots) = x^{18} - 6x^{13} - x^{18} - 2x^{17} + \dots = -2x^{17} - 6x^{13} + \dots$

Старший член многочлена $p(x)$ равен $-2x^{17}$. Таким образом, степень многочлена равна 17, а старший коэффициент равен -2.

Свободный член: $p(0) = (0^6 - 2 \cdot 0 + 64)^3 - (0^9 + 0^8 - 512)^2 = 64^3 - (-512)^2$. $64 = 2^6$, $512 = 2^9$. $p(0) = (2^6)^3 - (-(2^9))^2 = 2^{18} - (2^9)^2 = 2^{18} - 2^{18} = 0$.

Ответ: степень многочлена 17, старший коэффициент -2, свободный член 0.

в) $p(x) = (81x^4 - 36x^2 + 4)^5 - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13}$

Заметим, что выражение в первой скобке является полным квадратом: $81x^4 - 36x^2 + 4 = (9x^2)^2 - 2 \cdot (9x^2) \cdot 2 + 2^2 = (9x^2 - 2)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $p(x) = ((9x^2 - 2)^2)^5 - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13} = (9x^2 - 2)^{10} - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13}$.

Первые два члена взаимно уничтожаются. Таким образом, $p(x) = (x - 1)^{13}$.

Из этого упрощенного вида сразу видны все характеристики многочлена. Степень многочлена равна 13. Старший член равен $x^{13}$, поэтому старший коэффициент равен 1. Свободный член равен $p(0) = (0 - 1)^{13} = (-1)^{13} = -1$.

Ответ: степень многочлена 13, старший коэффициент 1, свободный член -1.

г) $p(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$

Упростим произведение первых четырех сомножителей.

Произведение первых двух скобок по формуле разности квадратов: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = ((x^2+1)-x)((x^2+1)+x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 + x^2 + 1$.

Теперь умножим результат на третью скобку: $(x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) = ((x^4+1)+x^2)((x^4+1)-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4 = x^8 + x^4 + 1$.

Таким образом, произведение первых трех скобок равно $x^8 + x^4 + 1$. Теперь $p(x)$ имеет вид: $p(x) = (x^8 + x^4 + 1)(x^8 - x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$.

Раскроем оставшееся произведение: $(x^8 + x^4 + 1)(x^8 - x^4 - 1) = x^{16} - x^{12} - x^8 + x^{12} - x^8 - x^4 + x^8 - x^4 - 1 = x^{16} - x^8 - 2x^4 - 1$.

Итак, $p(x) = (x^{16} - x^8 - 2x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$.

Степень первого слагаемого равна 16, его старший член $x^{16}$. Степень второго слагаемого $(x - 1)^{16}$ также равна 16, его старший член $x^{16}$. Старший член многочлена $p(x)$ является суммой старших членов слагаемых: $x^{16} + x^{16} = 2x^{16}$. Следовательно, степень многочлена равна 16, а старший коэффициент равен 2.

Свободный член $p(0)$: $p(0) = (0^2 - 0 + 1)(0^2 + 0 + 1)(0^4 - 0^2 + 1)(0^8 - 0^4 - 1) + (0 - 1)^{16} = (1)(1)(1)(-1) + (-1)^{16} = -1 + 1 = 0$.

Ответ: степень многочлена 16, старший коэффициент 2, свободный член 0.

1.14. Заполните таблицу, считая, что $f(x)$ и $g(x)$ многочлены:

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами степени многочленов. Пусть $n$ – степень многочлена $f(x)$, а $m$ – степень многочлена $g(x)$.

• Степень суммы $f(x) + g(x)$: Если степени многочленов различны ($n \neq m$), то степень их суммы равна большей из степеней: $deg(f(x) + g(x)) = \max(n, m)$. Если степени равны ($n = m$), то степень суммы не превосходит $n$: $deg(f(x) + g(x)) \leq n$. Она может быть меньше $n$, если старшие коэффициенты многочленов взаимно уничтожаются.
• Степень произведения $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения многочленов всегда равна сумме их степеней: $deg(f(x) \cdot g(x)) = n + m$.
• Степень возведения в степень $f^k(x)$: Степень многочлена, возведенного в степень $k$, равна произведению его исходной степени на $k$: $deg(f^k(x)) = k \cdot n$.

Теперь заполним пропуски в таблице для каждой строки.

Решение для первой строки

Дано: степень $f(x)$ равна $n=5$, степень $g(x)$ равна $m=3$.

1. Степень $f(x) + g(x)$: Так как $n \neq m$ ($5 \neq 3$), степень суммы равна максимальной из степеней: $\max(5, 3) = 5$.

2. Степень $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения равна сумме степеней: $5 + 3 = 8$.

3. Степень $f^3(x)$: Степень $f(x)$, возведенного в куб, равна $3 \cdot deg(f(x)) = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: Пропуски в первой строке: 5, 8, 15.

Решение для второй строки

Дано: степень $g(x)$ равна $m=7$, степень $f^3(x)$ равна $21$.

1. Степень $f(x)$: Известно, что $deg(f^3(x)) = 3 \cdot deg(f(x))$. Следовательно, $21 = 3 \cdot n$, откуда находим степень $f(x)$: $n = 21 / 3 = 7$.

2. Степень $f(x) + g(x)$: Теперь мы знаем, что $n=7$ и $m=7$. Так как степени равны, степень суммы $deg(f(x) + g(x)) \leq 7$. В общем случае, если не предполагать сокращения старших членов, степень суммы равна 7.

3. Степень $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения равна сумме степеней: $n + m = 7 + 7 = 14$.

Ответ: Пропуски во второй строке: 7, 7, 14.

Решение для третьей строки

Дано: степень $g(x)$ равна $m=4$, степень $f(x) \cdot g(x)$ равна $7$.

1. Степень $f(x)$: Известно, что $deg(f(x) \cdot g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x))$. Следовательно, $7 = n + 4$, откуда находим степень $f(x)$: $n = 7 - 4 = 3$.

2. Степень $f(x) + g(x)$: Мы имеем $n=3$ и $m=4$. Так как $n \neq m$, степень суммы равна максимальной из них: $\max(3, 4) = 4$.

3. Степень $f^3(x)$: Степень $f(x)$, возведенного в куб, равна $3 \cdot n = 3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: Пропуски в третьей строке: 3, 4, 9.

Решение для четвертой строки

Дано: степень $f(x) + g(x)$ равна $2$, степень $f^3(x)$ равна $9$.

1. Степень $f(x)$: Известно, что $deg(f^3(x)) = 3 \cdot deg(f(x))$. Следовательно, $9 = 3 \cdot n$, откуда находим степень $f(x)$: $n = 9 / 3 = 3$.

2. Степень $g(x)$: Мы знаем, что $n=3$ и $deg(f(x) + g(x))=2$. Если бы $n \neq m$, то степень суммы была бы $\max(n, m) = \max(3, m) = 2$, что невозможно, так как $\max(3, m) \geq 3$. Значит, степени многочленов должны быть равны, то есть $m=n=3$, а степень суммы стала меньше из-за сокращения старших членов.

3. Степень $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения равна сумме степеней: $n + m = 3 + 3 = 6$.

Ответ: Пропуски в четвертой строке: 3, 3, 6.

Решение для пятой строки

Дано: степень $f(x) + g(x)$ равна $4$, степень $f(x) \cdot g(x)$ равна $14$.

1. Степени $f(x)$ и $g(x)$: Обозначим $n = deg(f(x))$ и $m = deg(g(x))$. Мы имеем систему уравнений:
$n + m = 14$
$deg(f(x) + g(x)) = 4$
Если предположить, что $n \neq m$, то $deg(f(x) + g(x)) = \max(n, m) = 4$. Пусть $n=4$. Тогда из первого уравнения $4 + m = 14$, что дает $m=10$. Но тогда $\max(4, 10) = 10$, а не 4. Противоречие. Следовательно, единственный возможный случай – это $n = m$. Тогда $n + n = 14$, что дает $n = m = 7$. В этом случае $deg(f(x) + g(x)) \leq 7$. Значение 4 возможно, если старшие члены до степени 5 включительно сократились. Таким образом, $deg(f(x)) = 7$ и $deg(g(x)) = 7$.

2. Степень $f^3(x)$: Зная, что $deg(f(x))=7$, находим степень куба: $3 \cdot n = 3 \cdot 7 = 21$.

Ответ: Пропуски в пятой строке: 7, 7, 21.

Итоговая заполненная таблица:

1.15. Докажите, что:

а) сумма всех коэффициентов при чётных степенях многочлена $f(x)$, записанного в стандартном виде, равна $0,5(f(1) + f(-1))$;

б) сумма всех коэффициентов при нечётных степенях многочлена $f(x)$, записанного в стандартном виде, равна $0,5(f(1) - f(-1))$.

а)

Пусть многочлен $f(x)$ записан в стандартном виде (канонической форме):

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$

где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — его коэффициенты.

Сумма коэффициентов при чётных степенях переменной $x$ (включая свободный член $a_0 = a_0 x^0$) обозначается как:

$S_{чёт} = a_0 + a_2 + a_4 + \dots$

Сумма коэффициентов при нечётных степенях переменной $x$ обозначается как:

$S_{нечёт} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots$

Найдем значение многочлена в точках $x=1$ и $x=-1$.

При $x=1$ получаем сумму всех коэффициентов:

$f(1) = a_n (1)^n + a_{n-1} (1)^{n-1} + \dots + a_1 (1) + a_0 = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$

Таким образом, $f(1) = S_{чёт} + S_{нечёт}$.

При $x=-1$ получаем:

$f(-1) = a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + \dots + a_2 (-1)^2 + a_1 (-1) + a_0$

Учитывая, что $(-1)^k = 1$ для чётных $k$ и $(-1)^k = -1$ для нечётных $k$, выражение принимает вид:

$f(-1) = (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots)$

Таким образом, $f(-1) = S_{чёт} - S_{нечёт}$.

Теперь составим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} f(1) = S_{чёт} + S_{нечёт} \\ f(-1) = S_{чёт} - S_{нечёт} \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$f(1) + f(-1) = (S_{чёт} + S_{нечёт}) + (S_{чёт} - S_{нечёт})$

$f(1) + f(-1) = 2 \cdot S_{чёт}$

Отсюда выражаем сумму коэффициентов при чётных степенях:

$S_{чёт} = \frac{f(1) + f(-1)}{2} = 0.5(f(1) + f(-1))$

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

б)

Воспользуемся системой уравнений, полученной в пункте а):

$\begin{cases} f(1) = S_{чёт} + S_{нечёт} \\ f(-1) = S_{чёт} - S_{нечёт} \end{cases}$

где $S_{чёт}$ — сумма коэффициентов при чётных степенях, а $S_{нечёт}$ — сумма коэффициентов при нечётных степенях.

Вычтем второе уравнение из первого:

$f(1) - f(-1) = (S_{чёт} + S_{нечёт}) - (S_{чёт} - S_{нечёт})$

$f(1) - f(-1) = S_{чёт} + S_{нечёт} - S_{чёт} + S_{нечёт}$

$f(1) - f(-1) = 2 \cdot S_{нечёт}$

Отсюда выражаем сумму коэффициентов при нечётных степенях:

$S_{нечёт} = \frac{f(1) - f(-1)}{2} = 0.5(f(1) - f(-1))$

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

1.16. Для многочлена $p(x)$ найдите степень, свободный член, старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму всех коэффициентов при чётных степенях переменной, сумму всех коэффициентов при нечётных степенях переменной:

a) $p(x) = (x + 1)^{17} - (x - 1)^{17};$

б) $p(x) = (x^2 + x - 2)^{35}(x^2 - 3x - 4)^{15} - (x - 1)^2(x^3 + x + 2)^{65}.$

а) Для многочлена $p(x) = (x + 1)^{17} - (x - 1)^{17}$

1. Степень многочлена.
Разложим оба слагаемых по формуле бинома Ньютона: $(x + 1)^{17} = x^{17} + C_{17}^1 x^{16} + C_{17}^2 x^{15} + \dots + 1$ $(x - 1)^{17} = x^{17} - C_{17}^1 x^{16} + C_{17}^2 x^{15} - \dots - 1$ Вычтем второе из первого: $p(x) = (x^{17} + 17x^{16} + \dots) - (x^{17} - 17x^{16} + \dots)$ Старшие члены с $x^{17}$ взаимно уничтожаются: $x^{17} - x^{17} = 0$. Следующий по старшинству член будет с $x^{16}$: $17x^{16} - (-17x^{16}) = 34x^{16}$. Так как коэффициент при $x^{16}$ не равен нулю, то степень многочлена равна 16.

2. Старший коэффициент.
Как мы нашли в предыдущем пункте, член с наивысшей степенью — это $34x^{16}$. Соответственно, старший коэффициент равен 34.

3. Свободный член.
Свободный член многочлена равен его значению при $x = 0$, то есть $p(0)$. $p(0) = (0 + 1)^{17} - (0 - 1)^{17} = 1^{17} - (-1)^{17} = 1 - (-1) = 2$.

4. Сумма всех коэффициентов.
Сумма всех коэффициентов многочлена равна его значению при $x = 1$, то есть $p(1)$. $p(1) = (1 + 1)^{17} - (1 - 1)^{17} = 2^{17} - 0^{17} = 2^{17} = 131072$.

5. Сумма коэффициентов при чётных степенях.
Сумма коэффициентов при четных степенях $S_{even}$ вычисляется по формуле $S_{even} = \frac{p(1) + p(-1)}{2}$. Найдем $p(-1)$: $p(-1) = (-1 + 1)^{17} - (-1 - 1)^{17} = 0^{17} - (-2)^{17} = 0 - (-2^{17}) = 2^{17}$. $S_{even} = \frac{2^{17} + 2^{17}}{2} = \frac{2 \cdot 2^{17}}{2} = 2^{17} = 131072$.

6. Сумма коэффициентов при нечётных степенях.
Сумма коэффициентов при нечетных степенях $S_{odd}$ вычисляется по формуле $S_{odd} = \frac{p(1) - p(-1)}{2}$. $S_{odd} = \frac{2^{17} - 2^{17}}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: степень - 16, старший коэффициент - 34, свободный член - 2, сумма всех коэффициентов - $2^{17}$ (или 131072), сумма коэффициентов при четных степенях - $2^{17}$ (или 131072), сумма коэффициентов при нечетных степенях - 0.

б) Для многочлена $p(x) = (x^2 + x - 2)^{35}(x^2 - 3x - 4)^{15} - (x - 1)^2(x^3 + x + 2)^{65}$

Обозначим $p_1(x) = (x^2 + x - 2)^{35}(x^2 - 3x - 4)^{15}$ и $p_2(x) = (x - 1)^2(x^3 + x + 2)^{65}$. Тогда $p(x) = p_1(x) - p_2(x)$.

1. Степень многочлена.
Степень $p_1(x)$ равна степени $(x^2)^{35} \cdot (x^2)^{15} = x^{70} \cdot x^{30} = x^{100}$, то есть 100. Степень $p_2(x)$ равна степени $(x)^2 \cdot (x^3)^{65} = x^2 \cdot x^{195} = x^{197}$, то есть 197. Степень многочлена $p(x)$ равна максимальной из степеней $p_1(x)$ и $p_2(x)$, так как их старшие коэффициенты не сокращаются. Таким образом, степень равна 197.

2. Старший коэффициент.
Старший член $p_1(x)$ равен $(1 \cdot x^2)^{35} \cdot (1 \cdot x^2)^{15} = x^{100}$. Коэффициент равен 1. Старший член $p_2(x)$ равен $(1 \cdot x)^2 \cdot (1 \cdot x^3)^{65} = x^{197}$. Коэффициент равен 1. Старший член $p(x)$ определяется старшим членом $p_2(x)$, взятым с противоположным знаком: $-x^{197}$. Следовательно, старший коэффициент равен -1.

3. Свободный член.
Свободный член равен $p(0)$. $p(0) = (0^2 + 0 - 2)^{35}(0^2 - 3 \cdot 0 - 4)^{15} - (0 - 1)^2(0^3 + 0 + 2)^{65}$ $p(0) = (-2)^{35}(-4)^{15} - (-1)^2(2)^{65}$ $p(0) = (-2^{35})(-2^2)^{15} - (1)(2^{65})$ $p(0) = (-2^{35})(-2^{30}) - 2^{65}$ $p(0) = 2^{35+30} - 2^{65} = 2^{65} - 2^{65} = 0$.

4. Сумма всех коэффициентов.
Сумма всех коэффициентов равна $p(1)$. $p(1) = (1^2 + 1 - 2)^{35}(1^2 - 3 \cdot 1 - 4)^{15} - (1 - 1)^2(1^3 + 1 + 2)^{65}$ $p(1) = (0)^{35}(-6)^{15} - (0)^2(4)^{65} = 0 - 0 = 0$.

5. Сумма коэффициентов при чётных степенях.
$S_{even} = \frac{p(1) + p(-1)}{2}$. Найдем $p(-1)$: $p(-1) = ((-1)^2 + (-1) - 2)^{35}((-1)^2 - 3(-1) - 4)^{15} - ((-1) - 1)^2((-1)^3 + (-1) + 2)^{65}$ $p(-1) = (1 - 1 - 2)^{35}(1 + 3 - 4)^{15} - (-2)^2(-1 - 1 + 2)^{65}$ $p(-1) = (-2)^{35}(0)^{15} - (4)(0)^{65} = 0 - 0 = 0$. $S_{even} = \frac{0 + 0}{2} = 0$.

6. Сумма коэффициентов при нечётных степенях.
$S_{odd} = \frac{p(1) - p(-1)}{2}$. $S_{odd} = \frac{0 - 0}{2} = 0$.

Ответ: степень - 197, старший коэффициент - -1, свободный член - 0, сумма всех коэффициентов - 0, сумма коэффициентов при четных степенях - 0, сумма коэффициентов при нечетных степенях - 0.

1.17. При каких значениях параметра $a$ многочлен

$(a^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 4$

будет:

а) приведённым многочленом;

б) многочленом четвёртой степени;

в) многочленом третьей степени;

г) принимать одинаковые значения в точках $x = 1$ и $x = -1$?

Дан многочлен $P(x) = (a^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 4$.

а) приведённым многочленом

Приведённый многочлен — это многочлен, у которого коэффициент при старшей степени равен 1. В данном многочлене старшая возможная степень равна 4.

Для того чтобы многочлен был приведённым многочленом четвёртой степени, коэффициент при $x^4$ должен быть равен 1.

Приравняем коэффициент при $x^4$ к единице:

$a^2 - 4 = 1$

$a^2 = 5$

$a = \pm\sqrt{5}$

При этих значениях $a$ коэффициент при $x^4$ равен 1 (и не равен 0), поэтому степень многочлена действительно равна 4. Если степень многочлена была бы равна 3 (то есть $a^2-4=0$), то старший член был бы $-2x^3$, и коэффициент при нём -2, а не 1. Следовательно, в этом случае многочлен не является приведённым.

Таким образом, многочлен является приведённым при $a = \sqrt{5}$ или $a = -\sqrt{5}$.

Ответ: $a = \sqrt{5}, a = -\sqrt{5}$.

б) многочленом четвёртой степени

Степень многочлена определяется наивысшей степенью переменной, коэффициент при которой отличен от нуля. Чтобы данный многочлен был многочленом четвёртой степени, коэффициент при $x^4$ не должен быть равен нулю.

Коэффициент при $x^4$ равен $(a^2 - 4)$.

Составим и решим неравенство:

$a^2 - 4 \neq 0$

$a^2 \neq 4$

$a \neq 2$ и $a \neq -2$

Следовательно, многочлен является многочленом четвёртой степени при любых значениях $a$, кроме 2 и -2.

Ответ: $a \neq \pm 2$.

в) многочленом третьей степени

Чтобы многочлен был многочленом третьей степени, коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю, а коэффициент при $x^3$ должен быть отличен от нуля.

1. Приравняем коэффициент при $x^4$ к нулю:

$a^2 - 4 = 0$

$a^2 = 4$

$a = 2$ или $a = -2$

2. Проверим, что коэффициент при $x^3$ не равен нулю. Коэффициент при $x^3$ равен -2. Так как $-2 \neq 0$, это условие выполняется при любом значении параметра $a$.

Следовательно, многочлен будет иметь третью степень, если $a=2$ или $a=-2$.

Ответ: $a = 2, a = -2$.

г) принимать одинаковые значения в точках $x = 1$ и $x = -1$

Условие задачи означает, что значение многочлена $P(x)$ в точке $x = 1$ равно значению в точке $x = -1$, то есть $P(1) = P(-1)$.

Найдём значение многочлена в точке $x = 1$:

$P(1) = (a^2 - 4)(1)^4 - 2(1)^3 + (2a - 1)(1) - 4 = a^2 - 4 - 2 + 2a - 1 - 4 = a^2 + 2a - 11$.

Найдём значение многочлена в точке $x = -1$:

$P(-1) = (a^2 - 4)(-1)^4 - 2(-1)^3 + (2a - 1)(-1) - 4 = (a^2 - 4)(1) - 2(-1) - (2a - 1) - 4 = a^2 - 4 + 2 - 2a + 1 - 4 = a^2 - 2a - 5$.

Приравняем полученные выражения:

$a^2 + 2a - 11 = a^2 - 2a - 5$

Сократим $a^2$ в обеих частях уравнения:

$2a - 11 = -2a - 5$

Решим полученное линейное уравнение:

$2a + 2a = 11 - 5$

$4a = 6$

$a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Ответ: $a = \frac{3}{2}$.