Страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.41. Для некоторого приведённого многочлена $p(x)$ указаны его степень и все его корни с учётом их кратностей. Требуется записать в таблице разложение $p(x)$ на множители:

a) Степень многочлена: 7

Корни кратности 1: 1; -3; 5

Корни кратности 2:

Корни кратности 3:

Корни кратности 4: 2

Разложение многочлена:

б) Степень многочлена: 12

Корни кратности 1: 0;

Корни кратности 2: -2; 3

Корни кратности 3: $\sqrt{3}$

Корни кратности 4: 0,7

Разложение многочлена:

в) Степень многочлена: 8

Корни кратности 1:

Корни кратности 2: 9

Корни кратности 3: $\pi$; -0,3

Корни кратности 4:

Разложение многочлена:

г) Степень многочлена: 5

Корни кратности 1:

Корни кратности 2: 2

Корни кратности 3: -3

Корни кратности 4:

Разложение многочлена:

а)

Общий вид разложения приведённого многочлена $p(x)$ степени $n$ на множители, если известны все его корни $c_1, c_2, \dots, c_m$ с кратностями $k_1, k_2, \dots, k_m$ соответственно, выглядит так: $p(x) = (x-c_1)^{k_1}(x-c_2)^{k_2}\dots(x-c_m)^{k_m}$, где сумма кратностей $\sum_{i=1}^{m} k_i = n$.

В данном случае степень многочлена $n=7$. Корни кратности 1: 1, -3, 5. Это даёт множители $(x-1)^1$, $(x-(-3))^1 = (x+3)^1$, $(x-5)^1$. Корень кратности 4: 2. Это даёт множитель $(x-2)^4$. Сумма кратностей равна $1+1+1+4 = 7$, что соответствует степени многочлена. Перемножив эти множители, получаем разложение многочлена $p(x)$.

Ответ: $p(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5)(x - 2)^4$

б)

Степень приведённого многочлена $p(x)$ равна 12. Корень кратности 1: 0. Множитель: $(x-0)^1 = x$. Корни кратности 2: -2, 3. Множители: $(x-(-2))^2 = (x+2)^2$ и $(x-3)^2$. Корень кратности 3: $\sqrt{3}$. Множитель: $(x-\sqrt{3})^3$. Корень кратности 4: 0,7. Множитель: $(x-0,7)^4$. Сумма кратностей: $1 + 2 + 2 + 3 + 4 = 12$. Это совпадает со степенью многочлена. Разложение является произведением этих множителей.

Ответ: $p(x) = x(x + 2)^2(x - 3)^2(x - \sqrt{3})^3(x - 0,7)^4$

в)

Степень приведённого многочлена $p(x)$ равна 8. Корень кратности 2: 9. Множитель: $(x-9)^2$. Корни кратности 3: $\pi$, -0,3. Множители: $(x-\pi)^3$ и $(x-(-0,3))^3 = (x+0,3)^3$. Сумма кратностей: $2 + 3 + 3 = 8$. Это совпадает со степенью многочлена. Разложение является произведением этих множителей.

Ответ: $p(x) = (x - 9)^2(x - \pi)^3(x + 0,3)^3$

г)

Степень приведённого многочлена $p(x)$ равна 5. Корень кратности 2: 2. Множитель: $(x-2)^2$. Корень кратности 3: -3. Множитель: $(x-(-3))^3 = (x+3)^3$. Сумма кратностей: $2+3=5$. Это совпадает со степенью многочлена. Разложение является произведением этих множителей.

Ответ: $p(x) = (x - 2)^2(x + 3)^3$

1.42. Разложите многочлен на линейные множители:

а) $x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6;$

б) $x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4;$

в) $x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4;$

г) $x^8 - x^7 - 5x^6 + 3x^5 + 9x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 2.$

а) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6$.

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни многочлена являются делителями свободного члена, то есть числа 6. Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим $x=1$:
$P(1) = 1^5 - 4(1)^4 + 14(1)^2 - 17(1) + 6 = 1 - 4 + 14 - 17 + 6 = 0$.
Значит, $x=1$ является корнем, и $(x-1)$ — один из множителей.

Проверим кратность корня $x=1$ с помощью производных:
$P'(x) = 5x^4 - 16x^3 + 28x - 17$
$P'(1) = 5 - 16 + 28 - 17 = 0$. Корень имеет кратность как минимум 2.

$P''(x) = 20x^3 - 48x^2 + 28$
$P''(1) = 20 - 48 + 28 = 0$. Корень имеет кратность как минимум 3.

$P'''(x) = 60x^2 - 96x$
$P'''(1) = 60 - 96 = -36 \neq 0$. Корень $x=1$ имеет кратность 3.

Следовательно, многочлен $P(x)$ делится на $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ без остатка. Выполним деление столбиком:

 x^2 - x - 6 ____________________x^3-3x^2+3x-1 | x^5 - 4x^4 + 0x^3 + 14x^2 - 17x + 6 -(x^5 - 3x^4 + 3x^3 - x^2) ____________________ -x^4 - 3x^3 + 15x^2 - 17x -(-x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x) ____________________ -6x^3 + 18x^2 - 18x + 6 -(-6x^3 + 18x^2 - 18x + 6) ____________________ 0

Таким образом, $P(x) = (x-1)^3(x^2 - x - 6)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Окончательное разложение многочлена:
$x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6 = (x-1)^3(x-3)(x+2)$.

Ответ: $(x-1)^3(x-3)(x+2)$.

б) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4$.

Возможные целые корни — делители свободного члена 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=-1$:
$P(-1) = (-1)^5 - (-1)^4 - 5(-1)^3 + (-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 - 1 + 5 + 1 - 8 + 4 = 0$.
Значит, $x=-1$ — корень.

Проверим кратность корня $x=-1$ с помощью производных:
$P'(x) = 5x^4 - 4x^3 - 15x^2 + 2x + 8$
$P'(-1) = 5(1) - 4(-1) - 15(1) + 2(-1) + 8 = 5 + 4 - 15 - 2 + 8 = 0$.

$P''(x) = 20x^3 - 12x^2 - 30x + 2$
$P''(-1) = 20(-1) - 12(1) - 30(-1) + 2 = -20 - 12 + 30 + 2 = 0$.

$P'''(x) = 60x^2 - 24x - 30$
$P'''(-1) = 60(1) - 24(-1) - 30 = 60 + 24 - 30 = 54 \neq 0$.

Корень $x=-1$ имеет кратность 3, значит, многочлен делится на $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
Выполним деление столбиком:

 x^2 - 4x + 4 ______________________x^3+3x^2+3x+1 | x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4 -(x^5 + 3x^4 + 3x^3 + x^2) ______________________ -4x^4 - 8x^3 + 0x^2 + 8x -(-4x^4 -12x^3 - 12x^2 - 4x) ______________________ 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 -(4x^3 + 12x^2 + 12x + 4) ______________________ 0

Получаем $P(x) = (x+1)^3(x^2 - 4x + 4)$.

Квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Окончательное разложение:
$x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4 = (x+1)^3(x-2)^2$.

Ответ: $(x+1)^3(x-2)^2$.

в) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4$.

Возможные целые корни — делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=1$:
$P(1) = 1 - 6 + 13 - 12 + 4 = 0$.
Проверим кратность корня $x=1$:
$P'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 12$
$P'(1) = 4 - 18 + 26 - 12 = 0$. Корень как минимум двойной.

$P''(x) = 12x^2 - 36x + 26$
$P''(1) = 12 - 36 + 26 = 2 \neq 0$. Корень $x=1$ имеет кратность 2.

Проверим $x=2$:
$P(2) = 2^4 - 6(2^3) + 13(2^2) - 12(2) + 4 = 16 - 48 + 52 - 24 + 4 = 0$.
Проверим кратность корня $x=2$:
$P'(2) = 4(2^3) - 18(2^2) + 26(2) - 12 = 32 - 72 + 52 - 12 = 0$. Корень как минимум двойной.

Так как многочлен имеет степень 4, а мы нашли два двойных корня $x=1$ и $x=2$, то разложение полностью определено. Старший коэффициент равен 1.

Окончательное разложение:
$x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 = (x-1)^2(x-2)^2$.

Ответ: $(x-1)^2(x-2)^2$.

г) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^8 - x^7 - 5x^6 + 3x^5 + 9x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 2$.

Возможные целые корни — делители числа 2: $\pm1, \pm2$.

Проверим $x=1$:
$P(1) = 1 - 1 - 5 + 3 + 9 - 3 - 7 + 1 + 2 = 0$.

Проверим $x=-1$:
$P(-1) = 1 - (-1) - 5(1) + 3(-1) + 9(1) - 3(-1) - 7(1) + (-1) + 2 = 1+1-5-3+9+3-7-1+2 = 0$.

Проверим $x=2$:
$P(2) = 2^8 - 2^7 - 5 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^5 + 9 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2^2 + 2 + 2 = 256 - 128 - 320 + 96 + 144 - 24 - 28 + 4 = 0$.

Теперь определим кратности этих корней.
Для $x=1$: $P(1)=0$, $P'(1)=0$, $P''(1)=0$, $P'''(1)=-96 \neq 0$. Значит, корень $x=1$ имеет кратность 3.

Для $x=-1$: $P(-1)=0$, $P'(-1)=0$, $P''(-1)=0$, $P'''(-1)=0$, $P^{(4)}(-1)=576 \neq 0$. Значит, корень $x=-1$ имеет кратность 4.

Мы нашли корни: $x=1$ (кратность 3), $x=-1$ (кратность 4), $x=2$ (кратность 1). Сумма кратностей $3+4+1=8$, что равно степени исходного многочлена. Старший коэффициент равен 1.

Таким образом, разложение на линейные множители имеет вид:
$P(x) = (x-1)^3(x+1)^4(x-2)$.

Ответ: $(x+1)^4(x-1)^3(x-2)$.

1.43. a) Найдите многочлен $p(x)$ второй степени, если $p(0) = -1,$

$p(1) = 2, p(2) = 3$.

б) Найдите приведённый многочлен $p(x)$ второй степени, если $p(-2) = 3, p(-2.5) = 8$.

Многочлен второй степени имеет общий вид $p(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ воспользуемся данными условиями.

1. Из условия $p(0) = -1$ следует:
$p(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$
Значит, $c = -1$. Теперь многочлен имеет вид $p(x) = ax^2 + bx - 1$.

2. Из условия $p(1) = 2$ следует:
$p(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 1 = a + b - 1 = 2$
Отсюда получаем первое уравнение: $a + b = 3$.

3. Из условия $p(2) = 3$ следует:
$p(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 1 = 4a + 2b - 1 = 3$
Отсюда получаем второе уравнение: $4a + 2b = 4$, которое можно упростить, разделив на 2: $2a + b = 2$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений: $\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 2 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a + b) - (a + b) = 2 - 3$
$a = -1$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:
$-1 + b = 3$
$b = 4$

Итак, мы нашли все коэффициенты: $a = -1, b = 4, c = -1$. Подставляем их в общую формулу многочлена.

Ответ: $p(x) = -x^2 + 4x - 1$.

Приведённый многочлен второй степени — это многочлен, у которого коэффициент при старшей степени (при $x^2$) равен 1. Его общий вид: $p(x) = x^2 + bx + c$. Нам необходимо найти коэффициенты $b$ и $c$.

1. Используем условие $p(-2) = 3$:
$p(-2) = (-2)^2 + b(-2) + c = 4 - 2b + c = 3$
Получаем первое уравнение: $-2b + c = -1$.

2. Используем условие $p(-2,5) = 8$:
$p(-2,5) = (-2,5)^2 + b(-2,5) + c = 6,25 - 2,5b + c = 8$
Получаем второе уравнение: $-2,5b + c = 8 - 6,25$, то есть $-2,5b + c = 1,75$.

Решим систему уравнений: $\begin{cases} -2b + c = -1 \\ -2,5b + c = 1,75 \end{cases}$
Выразим $c$ из первого уравнения: $c = 2b - 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-2,5b + (2b - 1) = 1,75$
$-0,5b - 1 = 1,75$
$-0,5b = 2,75$
$b = \frac{2,75}{-0,5} = -5,5$

Теперь найдем $c$, подставив значение $b$ в выражение $c = 2b - 1$:
$c = 2(-5,5) - 1 = -11 - 1 = -12$

Мы нашли коэффициенты: $b = -5,5$ и $c = -12$. Подставляем их в формулу приведённого многочлена.

Ответ: $p(x) = x^2 - 5,5x - 12$.

1.44. a) Найдите приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени, если $p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 3.$

б) Найдите приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени, если $p(0) = p(1) = p(4) = 0.$

а)

Мы ищем приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени. Это означает, что он имеет вид $p(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$. Даны условия: $p(0) = 1$, $p(1) = 2$, $p(2) = 3$.

Заметим, что для заданных точек выполняется соотношение $p(x) = x+1$. Рассмотрим вспомогательный многочлен $q(x) = p(x) - (x+1)$.

Подставим в него значения $x=0, 1, 2$:

$q(0) = p(0) - (0+1) = 1 - 1 = 0$

$q(1) = p(1) - (1+1) = 2 - 2 = 0$

$q(2) = p(2) - (2+1) = 3 - 3 = 0$

Поскольку многочлен $q(x)$ обращается в ноль в точках $0, 1$ и $2$, его можно представить в виде произведения множителей, соответствующих этим корням:$q(x) = A \cdot (x-0)(x-1)(x-2)$ для некоторого коэффициента $A$.

Теперь выразим $p(x)$ через $q(x)$:
$p(x) = q(x) + (x+1) = A \cdot x(x-1)(x-2) + x + 1$.

Раскроем скобки, чтобы определить старший коэффициент многочлена $p(x)$:
$p(x) = A \cdot (x^2 - x)(x - 2) + x + 1$
$p(x) = A \cdot (x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x) + x + 1$
$p(x) = A \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x) + x + 1$
$p(x) = Ax^3 - 3Ax^2 + 2Ax + x + 1$
$p(x) = Ax^3 - 3Ax^2 + (2A+1)x + 1$.

По условию, многочлен $p(x)$ является приведённым, то есть коэффициент при $x^3$ равен 1. Следовательно, $A=1$.

Подставим $A=1$ в выражение для $p(x)$:
$p(x) = 1 \cdot x^3 - 3 \cdot 1 \cdot x^2 + (2 \cdot 1 + 1)x + 1$
$p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$.

Ответ: $p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$.

б)

Мы ищем приведённый многочлен $p(x)$ третьей степени, для которого выполняются условия: $p(0) = 0$, $p(1) = 0$, $p(4) = 0$.

Эти условия означают, что числа $0, 1$ и $4$ являются корнями многочлена $p(x)$.

Согласно теореме Безу, если число $c$ является корнем многочлена, то многочлен делится на $(x-c)$ без остатка. Следовательно, многочлен $p(x)$ должен делиться на $(x-0)$, $(x-1)$ и $(x-4)$.

Таким образом, $p(x)$ можно записать в виде:
$p(x) = A \cdot (x-0)(x-1)(x-4)$, где $A$ — некоторый числовой коэффициент.

Поскольку $p(x)$ — многочлен третьей степени, это его общая форма. Чтобы найти коэффициент $A$, используем условие, что $p(x)$ — приведённый многочлен. Это значит, что коэффициент при старшей степени ($x^3$) равен 1.

Раскроем скобки в выражении для $p(x)$:
$p(x) = A \cdot x(x^2 - 4x - x + 4)$
$p(x) = A \cdot x(x^2 - 5x + 4)$
$p(x) = A \cdot (x^3 - 5x^2 + 4x)$
$p(x) = Ax^3 - 5Ax^2 + 4Ax$.

Коэффициент при $x^3$ равен $A$. По условию он должен быть равен 1, следовательно, $A=1$.

Подставляем $A=1$ и получаем искомый многочлен:
$p(x) = x^3 - 5x^2 + 4x$.

Ответ: $p(x) = x^3 - 5x^2 + 4x$.

1.45. Пусть $p(x)$ — многочлен третьей степени; $p(1) = p(2) = p(3) = 0$. Докажите, что:

а) $p(4) \neq 0;$

б) $p(7) \neq p(-3);$

в) $p(1,5) + p(2,5) = 0;$

г) $p(5) = 4p(4).$

Поскольку $p(x)$ — многочлен третьей степени и из условия известно, что $p(1) = p(2) = p(3) = 0$, то числа 1, 2 и 3 являются корнями этого многочлена. Согласно теореме Безу, если число $c$ является корнем многочлена, то многочлен делится на $(x-c)$ без остатка. Таким образом, многочлен $p(x)$ можно представить в следующем виде:

$p(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)$

где $a$ — некоторый числовой коэффициент. Так как по условию $p(x)$ является многочленом именно третьей степени, его старший коэффициент при $x^3$ должен быть отличен от нуля. В данном виде старший коэффициент равен $a$, следовательно, $a \neq 0$.

Используя эту формулу, докажем все утверждения.

a) $p(4) \neq 0$;

Подставим $x=4$ в формулу для многочлена $p(x)$:

$p(4) = a(4-1)(4-2)(4-3) = a \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6a$

Поскольку $a \neq 0$, то и произведение $6a$ не равно нулю. Следовательно, $p(4) \neq 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) $p(7) \neq p(-3)$;

Вычислим значения многочлена в точках $x=7$ и $x=-3$.

Для $x=7$:

$p(7) = a(7-1)(7-2)(7-3) = a \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120a$

Для $x=-3$:

$p(-3) = a(-3-1)(-3-2)(-3-3) = a \cdot (-4) \cdot (-5) \cdot (-6) = -120a$

Теперь предположим, что $p(7) = p(-3)$. Тогда:

$120a = -120a$

$240a = 0$

Это равенство выполняется только при $a=0$. Но это противоречит условию, что $p(x)$ — многочлен третьей степени ($a \neq 0$). Значит, наше предположение неверно, и $p(7) \neq p(-3)$.

Ответ: Утверждение доказано.

в) $p(1,5) + p(2,5) = 0$;

Вычислим значения многочлена в точках $x=1,5$ и $x=2,5$.

Для $x=1,5$:

$p(1,5) = a(1,5-1)(1,5-2)(1,5-3) = a \cdot (0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-1,5) = a \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}a$

Для $x=2,5$:

$p(2,5) = a(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3) = a \cdot (1,5) \cdot (0,5) \cdot (-0,5) = a \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}a$

Теперь сложим полученные значения:

$p(1,5) + p(2,5) = \frac{3}{8}a + (-\frac{3}{8}a) = \frac{3}{8}a - \frac{3}{8}a = 0$

Равенство выполняется для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Отметим также, что корни многочлена 1, 2, 3 симметричны относительно точки $x=2$. Это означает, что график функции $y=p(x)$ имеет центр симметрии в точке $(2, 0)$. Точки $x=1,5=2-0,5$ и $x=2,5=2+0,5$ также симметричны относительно центра $x=2$. Для функции с таким свойством симметрии выполняется равенство $p(2-\delta) = -p(2+\delta)$. В нашем случае $p(1,5) = -p(2,5)$, откуда и следует, что их сумма равна нулю.

Ответ: Утверждение доказано.

г) $p(5) = 4p(4)$.

Вычислим значения многочлена в точках $x=5$ и $x=4$.

Значение $p(4)$ мы уже нашли в пункте а):

$p(4) = 6a$

Теперь вычислим $p(5)$:

$p(5) = a(5-1)(5-2)(5-3) = a \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24a$

Проверим, выполняется ли равенство $p(5) = 4p(4)$:

$24a = 4 \cdot (6a)$

$24a = 24a$

Равенство верно при любом значении $a$, а значит, оно доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

1.46. Докажите, что у данного многочлена $p(x)$ нет рациональных корней:

а) $p(x) = 7x^{15} - 13;$

б) $p(x) = 3x^7 + 1.$

Для доказательства отсутствия рациональных корней у данных многочленов воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа, $q \neq 0$), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

Рассмотрим многочлен $p(x) = 7x^{15} - 13$.

Здесь старший коэффициент $a_{15} = 7$, а свободный член $a_0 = -13$.

Предположим, что $x = \frac{p}{q}$ является рациональным корнем этого многочлена.

Тогда $p$ должен быть делителем числа $-13$. Возможные целые значения для $p$: $\pm 1, \pm 13$.

А $q$ должен быть делителем числа $7$. Возможные целые значения для $q$: $\pm 1, \pm 7$.

Следовательно, все возможные рациональные корни многочлена $p(x)$ должны принадлежать множеству $\{\pm 1, \pm 13, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{13}{7}\}$.

Подставим корень $x = \frac{p}{q}$ в уравнение $p(x) = 0$:

$7(\frac{p}{q})^{15} - 13 = 0$

$7\frac{p^{15}}{q^{15}} = 13$

$7p^{15} = 13q^{15}$

Проанализируем полученное равенство. Левая часть, $7p^{15}$, делится на простое число 7. Значит, и правая часть, $13q^{15}$, также должна делиться на 7. Поскольку 13 и 7 взаимно просты, то $q^{15}$ должно делиться на 7, а следовательно, и $q$ должно делиться на 7.

Аналогично, правая часть, $13q^{15}$, делится на простое число 13. Значит, и левая часть, $7p^{15}$, должна делиться на 13. Поскольку 7 и 13 взаимно просты, то $p^{15}$ должно делиться на 13, а следовательно, и $p$ должно делиться на 13.

Итак, мы пришли к выводу, что $p$ делится на 13, а $q$ делится на 7. Учитывая, что $p$ и $q$ взаимно просты, это возможно только если $|p|=13$ и $|q|=7$. Подставим эти значения в наше уравнение:

$7(\pm 13)^{15} = 13(\pm 7)^{15}$

Так как степень 15 нечетная, $(\pm a)^{15} = \pm a^{15}$.

$\pm 7 \cdot 13^{15} = \pm 13 \cdot 7^{15}$

Разделим обе части на $7 \cdot 13$ (знаки могут быть разными, но это не повлияет на модули):

$|13^{14}| = |7^{14}|$

$13^{14} = 7^{14}$

Это равенство неверно, так как $13 \neq 7$. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о существовании рационального корня было ошибочным.

Ответ: Доказано, что многочлен $p(x) = 7x^{15} - 13$ не имеет рациональных корней.

Рассмотрим многочлен $p(x) = 3x^7 + 1$.

Здесь старший коэффициент $a_7 = 3$, а свободный член $a_0 = 1$.

Пусть $x = \frac{p}{q}$ — предполагаемый рациональный корень.

Тогда числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0 = 1$. Возможные значения для $p$: $\pm 1$.

Знаменатель $q$ должен быть делителем старшего коэффициента $a_7 = 3$. Возможные значения для $q$: $\pm 1, \pm 3$.

Таким образом, все возможные рациональные корни должны находиться в множестве: $\{\pm\frac{1}{1}, \pm\frac{1}{3}\}$, то есть $\{\pm 1, \pm \frac{1}{3}\}$.

Проверим каждое из этих четырёх значений, подставляя их в уравнение $p(x)=0$:

• При $x=1$: $p(1) = 3(1)^7 + 1 = 3 + 1 = 4 \neq 0$.
• При $x=-1$: $p(-1) = 3(-1)^7 + 1 = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2 \neq 0$.
• При $x=\frac{1}{3}$: $p(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^7 + 1 = 3 \cdot \frac{1}{2187} + 1 = \frac{1}{729} + 1 \neq 0$.
• При $x=-\frac{1}{3}$: $p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^7 + 1 = 3 \cdot (-\frac{1}{2187}) + 1 = -\frac{1}{729} + 1 \neq 0$.

Ни одно из возможных рациональных значений не обращает многочлен в ноль. Следовательно, у многочлена нет рациональных корней.

Ответ: Доказано, что многочлен $p(x) = 3x^7 + 1$ не имеет рациональных корней.

1.47. При каких значениях $b$ и $c$ многочлен $f(x) = x^4 + 8x^3 + bx^2 + cx + 1$ имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений $b$ и $c$ найдите корни многочлена.

Если многочлен $f(x) = x^4 + 8x^3 + bx^2 + cx + 1$ имеет два корня, $x_1$ и $x_2$, каждый из которых второй кратности, то его можно представить в виде произведения: $f(x) = (x - x_1)^2(x - x_2)^2$

Раскроем скобки в этом выражении: $f(x) = ((x - x_1)(x - x_2))^2 = (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)^2$
$f(x) = (x^2)^2 + (-(x_1 + x_2)x)^2 + (x_1x_2)^2 + 2(x^2)(-(x_1 + x_2)x) + 2(x^2)(x_1x_2) + 2(-(x_1 + x_2)x)(x_1x_2)$
$f(x) = x^4 - 2(x_1 + x_2)x^3 + ((x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2)x^2 - 2x_1x_2(x_1 + x_2)x + (x_1x_2)^2$

Приравняем коэффициенты полученного многочлена и исходного многочлена $f(x) = x^4 + 8x^3 + bx^2 + cx + 1$. Это дает нам систему уравнений:

• При $x^3$: $-2(x_1 + x_2) = 8 \implies x_1 + x_2 = -4$
• При $x^2$: $b = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2$
• При $x$: $c = -2x_1x_2(x_1 + x_2)$
• Свободный член: $(x_1x_2)^2 = 1$

Из последнего уравнения следует, что $x_1x_2 = 1$ или $x_1x_2 = -1$. Рассмотрим каждый из этих двух случаев.

Имеем систему для определения корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1x_2 = 1$

По теореме Виета, $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1x_2 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 1 = 0$.

Находим корни этого уравнения:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12$
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$
Следовательно, корни исходного многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Теперь вычисляем значения $b$ и $c$:
$b = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = (-4)^2 + 2(1) = 16 + 2 = 18$
$c = -2x_1x_2(x_1 + x_2) = -2(1)(-4) = 8$

Ответ: при $b=18$ и $c=8$ корни многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Имеем систему для определения корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1x_2 = -1$

Корни $x_1$ и $x_2$ являются решениями квадратного уравнения $t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1x_2 = 0$, то есть $t^2 + 4t - 1 = 0$.

Находим корни этого уравнения:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$
Следовательно, корни исходного многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{5}$.

Теперь вычисляем значения $b$ и $c$:
$b = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = (-4)^2 + 2(-1) = 16 - 2 = 14$
$c = -2x_1x_2(x_1 + x_2) = -2(-1)(-4) = -8$

Ответ: при $b=14$ и $c=-8$ корни многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{5}$.