Страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите симметрическую систему уравнений:

2.21. a) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy - 3x - 3y = -9, \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = -10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy(x + y) = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy - 7x - 7y = -9, \\ x^2 + y^2 + 11(x + y) = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$

Это симметрическая система. Для её решения введем новые переменные, основанные на элементарных симметрических многочленах: $u = x + y$ и $v = xy$.

Используем известное тождество: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Теперь перепишем исходную систему в терминах $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u = 5 \\ u^2 - 2v = 13 \end{cases} $$

Подставим значение $u = 5$ из первого уравнения во второе:

$5^2 - 2v = 13$

$25 - 2v = 13$

$2v = 25 - 13$

$2v = 12$

$v = 6$

Мы нашли значения для новых переменных: $u = 5$ и $v = 6$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставив найденные значения суммы и произведения, получим уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Находим корни этого уравнения (например, по формуле корней квадратного уравнения):

$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

Корни: $t_1 = \frac{5+1}{2} = 3$ и $t_2 = \frac{5-1}{2} = 2$.

Поскольку система симметрична, пары $(x, y)$ могут быть $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - 3x - 3y = -9 \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = -10 \end{cases} $$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить симметрические многочлены $x+y$ и $xy$:

$$ \begin{cases} xy - 3(x + y) = -9 \\ (x^2 + y^2) - 5(x + y) = -10 \end{cases} $$

Введем замену: $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$.

Система в новых переменных примет вид:

$$ \begin{cases} v - 3u = -9 \\ (u^2 - 2v) - 5u = -10 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 3u - 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - 2(3u - 9) - 5u = -10$

$u^2 - 6u + 18 - 5u = -10$

$u^2 - 11u + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни $u_1 = 4, u_2 = 7$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 4$.

Находим соответствующее значение $v$: $v = 3(4) - 9 = 12 - 9 = 3$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 4$, $xy = 3$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 3$. Решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $u = 7$.

Находим соответствующее значение $v$: $v = 3(7) - 9 = 21 - 9 = 12$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 7$, $xy = 12$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$, откуда $t_1 = 3, t_2 = 4$. Решения: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Объединяем все найденные пары.

Ответ: $(1, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 3)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ xy(x + y) = 6 \end{cases} $$

Введем замену: $u = x + y$, $v = xy$.

Система в новых переменных:

$$ \begin{cases} u + v = 5 \\ uv = 6 \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Корни этого уравнения $z_1 = 2, z_2 = 3$.

Это приводит к двум возможным системам для $u$ и $v$:

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 2, xy = 3$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 2t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 3, xy = 2$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 2$. Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - 7x - 7y = -9 \\ x^2 + y^2 + 11(x + y) = 16 \end{cases} $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ \begin{cases} xy - 7(x + y) = -9 \\ (x^2 + y^2) + 11(x + y) = 16 \end{cases} $$

Введем замену: $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$.

Система в новых переменных:

$$ \begin{cases} v - 7u = -9 \\ (u^2 - 2v) + 11u = 16 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 7u - 9$.

Подставим во второе уравнение:

$u^2 - 2(7u - 9) + 11u = 16$

$u^2 - 14u + 18 + 11u = 16$

$u^2 - 3u + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $u_1 = 1, u_2 = 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 1$.

Тогда $v = 7(1) - 9 = -2$.

Система для $x$ и $y$: $x + y = 1, xy = -2$. Они являются корнями уравнения $t^2 - t - 2 = 0$, откуда $t_1 = 2, t_2 = -1$. Решения: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $u = 2$.

Тогда $v = 7(2) - 9 = 14 - 9 = 5$.

Система для $x$ и $y$: $x + y = 2, xy = 5$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 2t + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Действительных решений нет.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

2.22. a) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3, \\ xy(x^2 + y^2) = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^4 + y^4 = 13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ xy(x + y) = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3, \\ xy(x^2 + y^2) = 2; \end{cases} $
Это симметрическая система. Введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Подставим новые переменные в исходную систему:
$ \begin{cases} (x^2 + y^2) + xy = 3, \\ xy(x^2 + y^2) = 2; \end{cases} \implies \begin{cases} (u^2 - 2v) + v = 3, \\ v(u^2 - 2v) = 2; \end{cases} $
Упростим первое уравнение: $u^2 - v = 3$, откуда $v = u^2 - 3$.
Подставим это выражение для $v$ во второе уравнение:
$(u^2 - 3)(u^2 - 2(u^2 - 3)) = 2$
$(u^2 - 3)(u^2 - 2u^2 + 6) = 2$
$(u^2 - 3)(-u^2 + 6) = 2$
$-u^4 + 6u^2 + 3u^2 - 18 = 2$
$-u^4 + 9u^2 - 20 = 0$
$u^4 - 9u^2 + 20 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = u^2$, где $z \ge 0$.
$z^2 - 9z + 20 = 0$
По теореме Виета, корни $z_1 = 4$ и $z_2 = 5$. Оба корня неотрицательные.
Рассмотрим два случая:
1. $u^2 = 4 \implies u = \pm 2$. Тогда $v = u^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
2. $u^2 = 5 \implies u = \pm \sqrt{5}$. Тогда $v = u^2 - 3 = 5 - 3 = 2$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Для каждой пары $(u, v)$ решим систему $ \begin{cases} x+y=u, \\ xy=v \end{cases} $. Это эквивалентно решению квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$, где $x$ и $y$ являются его корнями.
Случай 1.1: $u = 2, v = 1$.
$t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.
Получаем решение: $x=1, y=1$.
Случай 1.2: $u = -2, v = 1$.
$t^2 - (-2)t + 1 = 0 \implies t^2 + 2t + 1 = 0 \implies (t+1)^2 = 0 \implies t=-1$.
Получаем решение: $x=-1, y=-1$.
Случай 2.1: $u = \sqrt{5}, v = 2$.
$t^2 - \sqrt{5}t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 5 - 8 = -3 < 0$. Действительных корней нет.
Случай 2.2: $u = -\sqrt{5}, v = 2$.
$t^2 + \sqrt{5}t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 5 - 8 = -3 < 0$. Действительных корней нет.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13; \end{cases} $
Введем новые переменные: $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 = 13; \end{cases} $
Возведем первое уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = 5^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = 25$.
Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 13$. Подставим это значение:
$13 + 2ab = 25$
$2ab = 12$
$ab = 6$
Теперь у нас есть более простая система для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a+b = 5, \\ ab = 6; \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
$(t-2)(t-3) = 0$, откуда $t_1 = 2, t_2 = 3$.
Это дает два случая для $(a, b)$:
1. $a=2, b=3$. Тогда $\frac{1}{x}=2 \implies x=\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y}=3 \implies y=\frac{1}{3}$. Решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$.
2. $a=3, b=2$. Тогда $\frac{1}{x}=3 \implies x=\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{y}=2 \implies y=\frac{1}{2}$. Решение $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^4 + y^4 = 13; \end{cases} $
Введем новые переменные: $a = x^2$ и $b = y^2$. Заметим, что $a \ge 0, b \ge 0$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 = 13; \end{cases} $
Эта система идентична системе для $a$ и $b$ из пункта б). Ее решение: $\{a, b\} = \{2, 3\}$.
Оба значения положительны, что удовлетворяет условиям $a \ge 0, b \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $a=2, b=3$.
$x^2=2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
$y^2=3 \implies y = \pm\sqrt{3}$.
Это дает четыре решения: $(\sqrt{2}, \sqrt{3}), (\sqrt{2}, -\sqrt{3}), (-\sqrt{2}, \sqrt{3}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$.
2. $a=3, b=2$.
$x^2=3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
$y^2=2 \implies y = \pm\sqrt{2}$.
Это дает еще четыре решения: $(\sqrt{3}, \sqrt{2}), (\sqrt{3}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{3}, \sqrt{2}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})$.
Ответ: $(\sqrt{2}, \sqrt{3}), (\sqrt{2}, -\sqrt{3}), (-\sqrt{2}, \sqrt{3}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{3}), (\sqrt{3}, \sqrt{2}), (\sqrt{3}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{3}, \sqrt{2}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ xy(x + y) = 2; \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $x+y+\frac{x+y}{xy} = 4$.
Это симметрическая система. Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = xy$.
Система в новых переменных:
$ \begin{cases} u + \frac{u}{v} = 4, \\ vu = 2; \end{cases} $
Из второго уравнения $uv=2$. Так как произведение не равно нулю, то $u \neq 0$ и $v \neq 0$.
Подставим $v = \frac{2}{u}$ в первое уравнение:
$u + \frac{u}{2/u} = 4$
$u + \frac{u^2}{2} = 4$
$2u + u^2 = 8$
$u^2 + 2u - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$:
$(u+4)(u-2) = 0$, откуда $u_1 = -4, u_2 = 2$.
Рассмотрим два случая:
1. $u=2$. Тогда $v = \frac{2}{u} = \frac{2}{2} = 1$.
Возвращаемся к $x$ и $y$: $\begin{cases} x+y=2, \\ xy=1. \end{cases}$
$x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0$, откуда $t=1$.
Получаем решение: $(1, 1)$.
2. $u=-4$. Тогда $v = \frac{2}{u} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к $x$ и $y$: $\begin{cases} x+y=-4, \\ xy=-1/2. \end{cases}$
$x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - (-4)t - \frac{1}{2} = 0 \implies t^2+4t-\frac{1}{2}=0 \implies 2t^2+8t-1=0$.
Найдем корни по формуле: $t = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64+8}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{-4 \pm 3\sqrt{2}}{2}$.
Получаем два решения: $(\frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2})$ и $(\frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(1, 1), (\frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}), (\frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2})$.

2.23. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} |x - y| + xy = x + y, \\ x^2 + y^2 - x - y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} |x - y| + x + y = 3xy, \\ x^2 + y^2 - xy = 3. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases}|x - y| + xy = x + y, \\x^2 + y^2 - x - y = 2;\end{cases}$

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - y \ge 0$, то есть $x \ge y$.

В этом случае $|x - y| = x - y$. Система принимает вид:

$\begin{cases}x - y + xy = x + y, \\x^2 + y^2 - x - y = 2;\end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$xy - 2y = 0$

$y(x - 2) = 0$

Это равенство выполняется, если $y = 0$ или $x = 2$.

• Если $y = 0$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $x^2 + 0^2 - x - 0 = 2$

  $x^2 - x - 2 = 0$

  Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

  Проверим выполнение условия $x \ge y$:

  Для пары $(2, 0)$: $2 \ge 0$. Условие выполнено. Пара $(2, 0)$ является решением.

  Для пары $(-1, 0)$: $-1 \ge 0$. Условие не выполнено. Эта пара не является решением.

• Если $x = 2$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $2^2 + y^2 - 2 - y = 2$

  $4 + y^2 - 2 - y = 2$

  $y^2 - y = 0$

  $y(y - 1) = 0$

  Корни: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.

  Проверим выполнение условия $x \ge y$:

  Для пары $(2, 0)$: $2 \ge 0$. Условие выполнено. Эта пара уже была найдена.

  Для пары $(2, 1)$: $2 \ge 1$. Условие выполнено. Пара $(2, 1)$ является решением.

Случай 2: $x - y < 0$, то есть $x < y$.

В этом случае $|x - y| = -(x - y) = y - x$. Система принимает вид:

$\begin{cases}y - x + xy = x + y, \\x^2 + y^2 - x - y = 2;\end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$xy - 2x = 0$

$x(y - 2) = 0$

Это равенство выполняется, если $x = 0$ или $y = 2$.

• Если $x = 0$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $0^2 + y^2 - 0 - y = 2$

  $y^2 - y - 2 = 0$

  Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

  Проверим выполнение условия $x < y$:

  Для пары $(0, 2)$: $0 < 2$. Условие выполнено. Пара $(0, 2)$ является решением.

  Для пары $(0, -1)$: $0 < -1$. Условие не выполнено. Эта пара не является решением.

• Если $y = 2$, подставим это значение во второе уравнение системы:

  $x^2 + 2^2 - x - 2 = 2$

  $x^2 - x = 0$

  $x(x - 1) = 0$

  Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

  Проверим выполнение условия $x < y$:

  Для пары $(0, 2)$: $0 < 2$. Условие выполнено. Эта пара уже была найдена.

  Для пары $(1, 2)$: $1 < 2$. Условие выполнено. Пара $(1, 2)$ является решением.

Собрав все найденные решения, получаем:

Ответ: $(2, 0), (2, 1), (0, 2), (1, 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases}|x - y| + x + y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3.\end{cases}$

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - y \ge 0$, то есть $x \ge y$.

В этом случае $|x - y| = x - y$. Система принимает вид:

$\begin{cases}x - y + x + y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3;\end{cases}$

$\begin{cases}2x = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3.\end{cases}$

Из первого уравнения $2x - 3xy = 0$, или $x(2 - 3y) = 0$. Отсюда $x = 0$ или $y = 2/3$.

• Если $x = 0$, подставим это значение во второе уравнение:

  $0^2 + y^2 - 0 \cdot y = 3 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm\sqrt{3}$.

  Проверим условие $x \ge y$:

  Для пары $(0, \sqrt{3})$: $0 \ge \sqrt{3}$. Неверно.

  Для пары $(0, -\sqrt{3})$: $0 \ge -\sqrt{3}$. Верно. Пара $(0, -\sqrt{3})$ является решением.

• Если $y = 2/3$, подставим это значение во второе уравнение:

  $x^2 + (2/3)^2 - x(2/3) = 3$

  $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} - 3 = 0$

  $x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{23}{9} = 0$

  Умножим на 9: $9x^2 - 6x - 23 = 0$.

  Решим квадратное уравнение: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot (-23)}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{36+828}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{864}}{18} = \frac{6 \pm 12\sqrt{6}}{18} = \frac{1 \pm 2\sqrt{6}}{3}$.

  Проверим условие $x \ge y$ (т.е. $x \ge 2/3$):

  Для $x_1 = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}$: $\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3} \ge \frac{2}{3} \implies 1 + 2\sqrt{6} \ge 2 \implies 2\sqrt{6} \ge 1$. Верно. Пара $(\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3})$ является решением.

  Для $x_2 = \frac{1 - 2\sqrt{6}}{3}$: $\frac{1 - 2\sqrt{6}}{3} \ge \frac{2}{3} \implies 1 - 2\sqrt{6} \ge 2 \implies -2\sqrt{6} \ge 1$. Неверно.

Случай 2: $x - y < 0$, то есть $x < y$.

В этом случае $|x - y| = -(x - y) = y - x$. Система принимает вид:

$\begin{cases}y - x + x + y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3;\end{cases}$

$\begin{cases}2y = 3xy, \\x^2 + y^2 - xy = 3.\end{cases}$

Заметим, что эта система симметрична системе из Случая 1 относительно замены $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Поэтому решения этого случая будут симметричны решениям из Случая 1.

Из решения $(0, -\sqrt{3})$ получаем пару $(-\sqrt{3}, 0)$. Проверим условие $x < y$: $-\sqrt{3} < 0$. Верно. Пара $(-\sqrt{3}, 0)$ является решением.

Из решения $(\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3})$ получаем пару $(\frac{2}{3}, \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3})$. Проверим условие $x < y$: $\frac{2}{3} < \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3} \implies 2 < 1 + 2\sqrt{6} \implies 1 < 2\sqrt{6}$. Верно. Пара $(\frac{2}{3}, \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3})$ является решением.

Собрав все найденные решения, получаем:

Ответ: $(0, -\sqrt{3}), (-\sqrt{3}, 0), (\frac{1 + 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{1 + 2\sqrt{6}}{3})$.

2.24. При каких значениях параметра a система имеет нечётное число решений:

a) $ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3a^2, \\ xy(x + y) = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy - 3x - 3y = -5, \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = a? \end{cases} $

Для того чтобы система имела нечетное число решений, необходимо и достаточно, чтобы существовали решения, в которых переменные равны друг другу ($x=y$), так как все остальные решения $(x_0, y_0)$ при $x_0 \neq y_0$ входят в ответ парами $(x_0, y_0)$ и $(y_0, x_0)$ из-за симметрии уравнений относительно $x$ и $y$.

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3a^2, \\ xy(x + y) = 2; \end{cases} $$

Система симметрична относительно $x$ и $y$. Если $(x_0, y_0)$ является решением, то и $(y_0, x_0)$ также является решением. Нечетное число решений возможно только в том случае, если существует хотя бы одно решение вида $(x, x)$, т.е. $x=y$.

Подставим $x=y$ в систему:

$$ \begin{cases} x^2 + x \cdot x + x^2 = 3a^2 \\ x \cdot x(x + x) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x^2 = 3a^2 \\ 2x^3 = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $x^3 = 1$, откуда, так как мы ищем действительные решения, $x=1$.

Подставляя $x=1$ в первое уравнение, находим $a$:

$1^2 = a^2 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$.

Таким образом, только при $a = \pm 1$ система может иметь нечетное число решений. Проверим, так ли это. Для этого найдем все решения системы при $a^2 = 1$.

Введем замену: $u = x+y$, $v = xy$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} (x+y)^2 - xy = 3a^2 \\ xy(x+y) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^2 - v = 3a^2 \\ uv = 2 \end{cases} $$

Подставляя $v = 2/u$ из второго уравнения в первое, получаем кубическое уравнение относительно $u$:

$u^2 - \frac{2}{u} = 3a^2 \Rightarrow u^3 - 3a^2u - 2 = 0$.

При $a^2=1$ уравнение принимает вид:

$u^3 - 3u - 2 = 0$.

Мы уже знаем, что одно из решений соответствует случаю $x=y=1$. В этом случае $u = x+y = 1+1=2$. Проверим, является ли $u=2$ корнем уравнения: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Да, является. Разделим многочлен $u^3 - 3u - 2$ на $(u-2)$:

$(u^3 - 3u - 2) : (u-2) = u^2 + 2u + 1 = (u+1)^2$.

Таким образом, уравнение для $u$ имеет корни $u_1 = 2$ и $u_2 = -1$ (кратности 2).

Для каждого значения $u$ найдем соответствующие пары $(x,y)$. Они являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$, где $v = 2/u$.

1. При $u_1 = 2$: $v_1 = 2/2 = 1$. Уравнение $t^2 - 2t + 1 = 0$, или $(t-1)^2 = 0$. Оно имеет один корень $t=1$. Это дает одно решение системы: $(1, 1)$.

2. При $u_2 = -1$: $v_2 = 2/(-1) = -2$. Уравнение $t^2 - (-1)t - 2 = 0$, или $t^2 + t - 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1, t_2 = -2$. Это дает два решения системы: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Всего при $a = \pm 1$ система имеет $1+2=3$ решения. Число 3 является нечетным.

Ответ: $a = -1, a = 1$.

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} xy - 3x - 3y = -5, \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = a; \end{cases} $$

Эта система также симметрична относительно $x$ и $y$. Нечетное число решений возможно, если существует решение вида $(x,x)$. Подставим $y=x$ в систему:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 3x = -5 \\ x^2 + x^2 - 5x - 5x = a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 6x + 5 = 0 \\ 2x^2 - 10x = a \end{cases} $$

Первое уравнение $(x-1)(x-5) = 0$ дает два возможных значения: $x=1$ или $x=5$.

1. Если $x=1$, то из второго уравнения $a = 2(1)^2 - 10(1) = 2 - 10 = -8$. При $a=-8$ существует решение $(1,1)$.

2. Если $x=5$, то из второго уравнения $a = 2(5)^2 - 10(5) = 50 - 50 = 0$. При $a=0$ существует решение $(5,5)$.

Проверим эти значения параметра $a$. Введем замену $u = x+y$, $v = xy$.

$$ \begin{cases} v - 3u = -5 \\ (x+y)^2 - 2xy - 5(x+y) = a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} v = 3u - 5 \\ u^2 - 2v - 5u = a \end{cases} $$

Подставляем $v$ во второе уравнение:

$u^2 - 2(3u-5) - 5u = a$

$u^2 - 6u + 10 - 5u = a$

$u^2 - 11u + (10 - a) = 0$.

Для каждого решения $u_0$ этого квадратного уравнения, мы находим $v_0 = 3u_0 - 5$ и затем решаем $t^2 - u_0t + v_0 = 0$ для нахождения пар $(x,y)$. Число решений для $(x,y)$ зависит от дискриминанта $D_t = u_0^2 - 4v_0 = u_0^2 - 4(3u_0-5) = u_0^2 - 12u_0 + 20$.

Одно решение $(x=y)$ получается, когда $D_t = 0$. Уравнение $u_0^2 - 12u_0 + 20 = 0$ имеет корни $u_0=2$ и $u_0=10$.

Рассмотрим найденные значения $a$.

Случай 1: $a = -8$.

Уравнение для $u$: $u^2 - 11u + (10 - (-8)) = 0 \Rightarrow u^2 - 11u + 18 = 0$.

Корни: $u_1=2, u_2=9$.

• Для $u_1=2$: $D_t = 2^2 - 12(2) + 20 = 0$. Это дает 1 решение. (Это решение $(1,1)$).
• Для $u_2=9$: $D_t = 9^2 - 12(9) + 20 = 81 - 108 + 20 = -7 < 0$. Это дает 0 решений.

Суммарное число решений при $a=-8$ равно $1+0=1$, что является нечетным числом.

Случай 2: $a = 0$.

Уравнение для $u$: $u^2 - 11u + 10 = 0$.

Корни: $u_1=1, u_2=10$.

• Для $u_1=1$: $D_t = 1^2 - 12(1) + 20 = 9 > 0$. Это дает 2 решения.
• Для $u_2=10$: $D_t = 10^2 - 12(10) + 20 = 0$. Это дает 1 решение. (Это решение $(5,5)$).

Суммарное число решений при $a=0$ равно $2+1=3$, что является нечетным числом.

Таким образом, оба значения подходят.

Ответ: $a = -8, a = 0$.

Решите уравнение:

2.25. a) $(x^2 + 3y^2 - 7)^2 + \sqrt{3 - xy - y^2} = 0;$

б) $(5x + y - 6)^2 + (3x - y - 2)^4 = 0.$

а)

Дано уравнение $(x^2 + 3y^2 - 7)^2 + \sqrt{3 - xy - y^2} = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое слагаемое:

1. Первое слагаемое $(x^2 + 3y^2 - 7)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x^2 + 3y^2 - 7)^2 \ge 0$.

2. Второе слагаемое $\sqrt{3 - xy - y^2}$ является арифметическим квадратным корнем, поэтому его значение также всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{3 - xy - y^2} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 + 3y^2 - 7)^2 = 0 \\ \sqrt{3 - xy - y^2} = 0 \end{cases} $

Из этой системы получаем:

$ \begin{cases} x^2 + 3y^2 - 7 = 0 \\ 3 - xy - y^2 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в более удобном виде:

$ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 7 & (1) \\ xy = 3 - y^2 & (2) \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$. Заметим, что $y \ne 0$, так как если $y=0$, то из (2) следует $0=3$, что неверно. Следовательно, можно разделить на $y$: $x = \frac{3 - y^2}{y}$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$\left(\frac{3 - y^2}{y}\right)^2 + 3y^2 = 7$

$\frac{(3 - y^2)^2}{y^2} + 3y^2 = 7$

$\frac{9 - 6y^2 + y^4}{y^2} + 3y^2 = 7$

Умножим обе части уравнения на $y^2$ (поскольку $y \ne 0$):

$9 - 6y^2 + y^4 + 3y^4 = 7y^2$

$4y^4 - 13y^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = y^2$, где $t > 0$:

$4t^2 - 13t + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 = 5^2$

$t_{1,2} = \frac{13 \pm 5}{8}$

$t_1 = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

$t_2 = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к переменной $y$:

1. Если $y^2 = \frac{9}{4}$, то $y_1 = \frac{3}{2}$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.

2. Если $y^2 = 1$, то $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя формулу $x = \frac{3 - y^2}{y}$:

Для $y_1 = \frac{3}{2}$: $x_1 = \frac{3 - (3/2)^2}{3/2} = \frac{3 - 9/4}{3/2} = \frac{3/4}{3/2} = \frac{1}{2}$. Получаем решение $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Для $y_2 = -\frac{3}{2}$: $x_2 = \frac{3 - (-3/2)^2}{-3/2} = \frac{3 - 9/4}{-3/2} = \frac{3/4}{-3/2} = -\frac{1}{2}$. Получаем решение $(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$.

Для $y_3 = 1$: $x_3 = \frac{3 - 1^2}{1} = \frac{2}{1} = 2$. Получаем решение $(2; 1)$.

Для $y_4 = -1$: $x_4 = \frac{3 - (-1)^2}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}), (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}), (2; 1), (-2; -1)$.

б)

Дано уравнение $(5x + y - 6)^2 + (3x - y - 2)^4 = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое слагаемое:

1. Первое слагаемое $(5x + y - 6)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(5x + y - 6)^2 \ge 0$.

2. Второе слагаемое $(3x - y - 2)^4$ является четвертой степенью действительного числа, поэтому его значение также всегда неотрицательно, то есть $(3x - y - 2)^4 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} (5x + y - 6)^2 = 0 \\ (3x - y - 2)^4 = 0 \end{cases} $

Из этой системы получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 5x + y - 6 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в более удобном виде:

$ \begin{cases} 5x + y = 6 \\ 3x - y = 2 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(5x + y) + (3x - y) = 6 + 2$

$8x = 8$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$5(1) + y = 6$

$5 + y = 6$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

2.26. a) $9x^2 + 12xy + 5y^2 - 6y + 9 = 0;$

б) $26x^2 + 10y^2 - 30xy + 6x + 10y + 34 = 0.$

а) $9x^2 + 12xy + 5y^2 - 6y + 9 = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Заметим, что слагаемое $5y^2$ можно представить в виде суммы $4y^2 + y^2$.

Перепишем уравнение:

$(9x^2 + 12xy + 4y^2) + (y^2 - 6y + 9) = 0$

Выражение в первой скобке является полным квадратом суммы $(3x+2y)^2$. Выражение во второй скобке также является полным квадратом разности $(y-3)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(3x + 2y)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим значение $y$:

$y = 3$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$3x + 2(3) = 0$

$3x + 6 = 0$

$3x = -6$

$x = -2$

Следовательно, решением уравнения является пара чисел $x = -2, y = 3$.

Ответ: $(-2, 3)$.

б) $26x^2 + 10y^2 - 30xy + 6x + 10y + 34 = 0$

Для решения этого уравнения также применим метод выделения полных квадратов. Заметим, что линейные члены $6x$ и $10y$ могут быть частью квадратов вида $(ax+b)^2$ и $(cy+d)^2$. В частности, $6x$ соответствует квадрату $(x+3)^2 = x^2+6x+9$, а $10y$ — квадрату $(y+5)^2 = y^2+10y+25$.

Сумма свободных членов в этих квадратах равна $9 + 25 = 34$, что точно совпадает со свободным членом в исходном уравнении.

Перегруппируем слагаемые в исходном уравнении, чтобы использовать эту идею. Представим $26x^2$ как $25x^2 + x^2$ и $10y^2$ как $9y^2 + y^2$.

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) + (25x^2 - 30xy + 9y^2) = 0$

Каждое из выражений в скобках является полным квадратом:

• $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
• $y^2 + 10y + 25 = (y + 5)^2$
• $25x^2 - 30xy + 9y^2 = (5x - 3y)^2$

Подставив эти выражения в уравнение, получим:

$(x + 3)^2 + (y + 5)^2 + (5x - 3y)^2 = 0$

Сумма квадратов трех действительных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из выражений равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 3 = 0 \\ y + 5 = 0 \\ 5x - 3y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = -3$

Из второго уравнения находим $y$:

$y = -5$

Подставим найденные значения $x$ и $y$ в третье уравнение, чтобы проверить его истинность:

$5(-3) - 3(-5) = -15 - (-15) = -15 + 15 = 0$

Так как $0=0$, все три уравнения системы выполняются. Значит, решением является пара чисел $x = -3, y = -5$.

Ответ: $(-3, -5)$.

2.27. a) $(x + 2y)^2 + 2|x - y + 3| = y - x - 3;$

б) $(5x - 2y - 7)^2 + 4|3x - 2y - 5| = 3x - 2y - 5.$

а) $(x + 2y)^2 + 2|x - y + 3| = y - x - 3$

Заметим, что правая часть уравнения является противоположной выражению под знаком модуля. Перепишем правую часть: $y - x - 3 = -(x - y + 3)$.

Введем замену: пусть $A = x - y + 3$. Тогда уравнение примет вид:

$(x + 2y)^2 + 2|A| = -A$

Левая часть этого уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(x + 2y)^2 \ge 0$ и $2|A| \ge 0$. Следовательно, вся левая часть всегда неотрицательна.

Это означает, что и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-A \ge 0$, что эквивалентно условию $A \le 0$.

По определению модуля, если $A \le 0$, то $|A| = -A$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$(x + 2y)^2 + 2(-A) = -A$

$(x + 2y)^2 - 2A = -A$

$(x + 2y)^2 = A$

Теперь у нас есть два условия: $A \le 0$ и $(x + 2y)^2 = A$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($(x + 2y)^2 \ge 0$), а $A$ неположительно, равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.

Таким образом, мы приходим к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} (x + 2y)^2 = 0 \\ A = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}$

Решим полученную систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x = -2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-2y) - y + 3 = 0$

$-3y + 3 = 0$

$-3y = -3$

$y = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = -2y = -2(1) = -2$

Решением уравнения является пара чисел $(x, y) = (-2, 1)$.

Ответ: $(-2; 1)$.

б) $(5x - 2y - 7)^2 + 4|3x - 2y - 5| = 3x - 2y - 5$

Это уравнение имеет схожую структуру. Сделаем замену. Пусть $B = 3x - 2y - 5$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(5x - 2y - 7)^2 + 4|B| = B$

Левая часть этого уравнения является суммой двух неотрицательных выражений: $(5x - 2y - 7)^2 \ge 0$ и $4|B| \ge 0$. Значит, левая часть всегда неотрицательна.

Из этого следует, что и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $B \ge 0$.

Если $B \ge 0$, то по определению модуля $|B| = B$. Подставим это в уравнение:

$(5x - 2y - 7)^2 + 4B = B$

$(5x - 2y - 7)^2 = B - 4B$

$(5x - 2y - 7)^2 = -3B$

Мы получили два условия: $B \ge 0$ и $(5x - 2y - 7)^2 = -3B$.

Выражение в левой части $(5x - 2y - 7)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). Выражение в правой части $-3B$, при условии $B \ge 0$, всегда неположительно ($\le 0$).

Равенство неотрицательного и неположительного числа возможно только тогда, когда оба они равны нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (5x - 2y - 7)^2 = 0 \\ -3B = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x - 2y - 7 = 0 \\ B = 3x - 2y - 5 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему в более удобном для решения виде:

$\begin{cases} 5x - 2y = 7 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Для решения системы удобно вычесть второе уравнение из первого:

$(5x - 2y) - (3x - 2y) = 7 - 5$

$5x - 2y - 3x + 2y = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$3(1) - 2y = 5$

$3 - 2y = 5$

$-2y = 5 - 3$

$-2y = 2$

$y = -1$

Решение системы и, следовательно, исходного уравнения: $x = 1, y = -1$.

Ответ: $(1; -1)$.

2.28. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению:

a) $(x - y + 1)^2 + (x + 2y - z)^2 + 5y^2 = 0;$

б) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0.$

а)

Дано уравнение $(x - y + 1)^2 + (x + 2y - z)^2 + 5y^2 = 0$. Левая часть этого уравнения представляет собой сумму трех слагаемых. Каждое из этих слагаемых является неотрицательным для любых действительных значений $x$, $y$, и $z$, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю:

• $(x - y + 1)^2 \ge 0$
• $(x + 2y - z)^2 \ge 0$
• $5y^2 \ge 0$

Сумма нескольких неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, для выполнения исходного уравнения необходимо, чтобы одновременно выполнялись три условия:

$ \begin{cases} (x - y + 1)^2 = 0 \\ (x + 2y - z)^2 = 0 \\ 5y^2 = 0 \end{cases} $

Из этих равенств получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + 2y - z = 0 \\ y = 0 \end{cases} $

Решим эту систему. Из третьего уравнения мы сразу получаем $y = 0$. Подставим значение $y=0$ в первое уравнение: $x - 0 + 1 = 0 \implies x = -1$. Теперь подставим найденные значения $x = -1$ и $y = 0$ во второе уравнение: $-1 + 2(0) - z = 0 \implies -1 - z = 0 \implies z = -1$. Таким образом, единственная тройка чисел, удовлетворяющая уравнению, это $(-1, 0, -1)$.

Ответ: $(-1, 0, -1)$.

б)

Дано уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$. Для решения преобразуем левую часть уравнения. Умножим обе части уравнения на 2: $2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2 \cdot 0$ $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$. Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разностей: $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$. Данное выражение можно записать в виде: $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$.

Как и в предыдущем задании, мы получили сумму трех неотрицательных слагаемых (квадратов действительных чисел), которая равна нулю. Это возможно только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю:

$ \begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0 \end{cases} $

Из этой системы следует, что: $x - y = 0 \implies x = y$ $y - z = 0 \implies y = z$ $z - x = 0 \implies z = x$

Таким образом, все три переменные должны быть равны между собой: $x = y = z$. Это равенство будет верным для любой тройки одинаковых чисел. Если обозначить это число через $c$, то решением будет любая тройка чисел вида $(c, c, c)$, где $c$ — любое действительное число.

Ответ: $(c, c, c)$, где $c$ – любое действительное число.