Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.1. Докажите, что верно равенство:

a) $\sqrt{361} = 19;$

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2};$

в) $\sqrt[3]{343} = 7;$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}.$

а) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt{361} = 19$, необходимо воспользоваться определением арифметического квадратного корня. Согласно этому определению, равенство $\sqrt{a}=b$ является верным, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

В нашем случае $b = 19$. Первое условие $19 > 0$ выполняется. Проверим второе условие, возведя $19$ в квадрат:

$19^2 = 19 \times 19 = 361$.

Так как $19^2$ равно подкоренному выражению $361$, второе условие также выполняется. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt{361} = 19$ верно, так как $19 > 0$ и $19^2 = 361$.

б) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$, воспользуемся определением арифметического корня $n$-ой степени. Для четной степени $n$ равенство $\sqrt[n]{a}=b$ является верным, если $b \ge 0$ и $b^n = a$.

Здесь $n=6$ (четное число) и $b = \frac{1}{2}$. Первое условие $\frac{1}{2} > 0$ выполняется. Проверим второе условие, возведя $\frac{1}{2}$ в шестую степень:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.

Второе условие также выполняется, так как результат равен подкоренному выражению. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$ верно, так как $\frac{1}{2} > 0$ и $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

в) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[3]{343} = 7$, воспользуемся определением корня нечетной степени. Равенство $\sqrt[n]{a}=b$ для нечетного $n$ является верным, если $b^n = a$.

Здесь $n=3$ (нечетное число) и $b=7$. Проверим выполнение условия, возведя $7$ в третью степень:

$7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$.

Результат равен подкоренному выражению, значит, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{343} = 7$ верно, так как $7^3 = 343$.

г) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$, воспользуемся определением корня нечетной степени. Равенство $\sqrt[n]{a}=b$ для нечетного $n$ является верным, если $b^n = a$.

Здесь $n=5$ (нечетное число) и $b = \frac{2}{3}$. Проверим выполнение условия, возведя $\frac{2}{3}$ в пятую степень:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.

Результат равен подкоренному выражению, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$ верно, так как $(\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$.

4.2. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[5]{(-3)^3}$;

б) $\sqrt[8]{(-2)^5}$;

в) $\sqrt[10]{(-7)^2}$;

г) $\sqrt[3]{(-5)^2}$?

а) В выражении $\sqrt[5]{(-3)^3}$ показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Вычислим подкоренное выражение: $(-3)^3 = -27$. Так как корень нечетной степени из отрицательного числа существует, выражение $\sqrt[5]{-27}$ имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

б) В выражении $\sqrt[8]{(-2)^5}$ показатель корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени в области действительных чисел определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения (то есть $a \ge 0$). Вычислим подкоренное выражение: $(-2)^5 = -32$. Поскольку подкоренное выражение отрицательно ($-32 < 0$), а показатель корня четный, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.

в) В выражении $\sqrt[10]{(-7)^2}$ показатель корня $n=10$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Вычислим подкоренное выражение: $(-7)^2 = 49$. Поскольку подкоренное выражение положительно ($49 > 0$), данное выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

г) В выражении $\sqrt[3]{(-5)^2}$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Вычислим подкоренное выражение: $(-5)^2 = 25$. Так как 25 является действительным числом, выражение $\sqrt[3]{25}$ имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

4.3. Объясните, почему неверно равенство:

а) $\sqrt{25} = -5$;

б) $\sqrt[6]{-64} = -2$;

в) $-\sqrt[3]{-8} = -2$;

г) $\sqrt[4]{625} = -25$.

а) Равенство $\sqrt{25} = -5$ неверно.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) из неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $b^2 = a$.

В данном случае, $a=25$. Мы ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 25. Таким числом является 5, так как $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$. Число -5 не является арифметическим квадратным корнем, потому что оно отрицательное.

Следовательно, верное равенство: $\sqrt{25} = 5$.

Ответ: Равенство неверно, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом.

б) Равенство $\sqrt[6]{-64} = -2$ неверно.

Корень четной степени (в данном случае, 6-й степени) в области действительных чисел определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Поскольку подкоренное выражение $-64$ является отрицательным числом, выражение $\sqrt[6]{-64}$ не имеет смысла (не определено) в множестве действительных чисел.

Ответ: Равенство неверно, так как корень четной степени из отрицательного числа не определен в действительных числах.

в) Равенство $-\sqrt[3]{-8} = -2$ неверно.

Сначала вычислим значение выражения в левой части. Корень нечетной степени (в данном случае, 3-й степени) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

Найдем $\sqrt[3]{-8}$. Это число, которое при возведении в куб дает -8. Таким числом является -2, так как $(-2)^3 = -8$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$.

Таким образом, левая часть равенства равна 2, а правая равна -2. Так как $2 \ne -2$, равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$, а не -2.

г) Равенство $\sqrt[4]{625} = -25$ неверно.

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, 4-й степени) из неотрицательного числа — это неотрицательное число.

В правой части равенства стоит отрицательное число (-25), что уже делает равенство неверным.

Кроме того, можно проверить равенство возведением в степень. Если бы равенство было верным, то $(-25)^4$ должно было бы равняться 625. Однако, $(-25)^4 = (25)^4 = (25^2)^2 = 625^2 = 390625$. Так как $390625 \ne 625$, равенство неверно.

Правильное значение корня: $\sqrt[4]{625} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^4 = 625$.

Ответ: Равенство неверно, так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным числом, и, кроме того, $(-25)^4 \ne 625$.

4.4. Найдите ошибку в рассуждениях:

а) $2 = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{(2)^4} = \sqrt[4]{(-2)^4} = -2;$

б) $5 = \sqrt[6]{15625} = \sqrt[6]{(5)^6} = \sqrt[6]{(-5)^6} = -5.$

а) Ошибка в рассуждениях допущена на последнем шаге, в равенстве $ \sqrt[4]{(-2)^4} = -2 $.

По определению, арифметический корень четной степени ($n=2, 4, 6, \dots$) из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо тождество:

$ \sqrt[n]{a^n} = |a| $

В данном случае показатель корня $n=4$ является четным числом. Следовательно, извлекать корень нужно по указанному выше правилу:

$ \sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2 $

Таким образом, последнее равенство в цепочке неверно. Вместо $ -2 $ должно быть $ 2 $, и тогда вся цепочка превращается в тождество $ 2 = 2 $. Ошибка заключается в неверном извлечении корня четной степени из отрицательного числа, возведенного в эту же степень.

Ответ: ошибка содержится в равенстве $ \sqrt[4]{(-2)^4} = -2 $. Правильное значение выражения $ \sqrt[4]{(-2)^4} $ равно $ |-2| $, то есть $2$.

б) Ошибка в этом примере аналогична предыдущему и находится в последнем равенстве $ \sqrt[6]{(-5)^6} = -5 $.

Показатель корня $n=6$ — четное число. Как и в пункте а), для корней четной степени действует правило $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $.

Применяя это правило к выражению, получаем:

$ \sqrt[6]{(-5)^6} = |-5| = 5 $

Следовательно, последний шаг в рассуждениях неверен. Он приводит к абсурдному выводу $ 5 = -5 $. Правильная запись цепочки равенств выглядит так: $ 5 = \sqrt[6]{15625} = \sqrt[6]{(5)^6} = \sqrt[6]{(-5)^6} = 5 $.

Ответ: ошибка содержится в равенстве $ \sqrt[6]{(-5)^6} = -5 $. Правильное значение выражения $ \sqrt[6]{(-5)^6} $ равно $ |-5| $, то есть $5$.

○4.5. Верно ли равенство:

a) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$;

в) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$;

г) $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$?

а) Чтобы проверить равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна и что квадраты обеих частей равны.Во-первых, оценим знак правой части: $2 - \sqrt{3}$. Сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Так как $2^2 = 4$, а $(\sqrt{3})^2 = 3$, то $4 > 3$, значит $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, выражение $2 - \sqrt{3}$ положительно.Во-вторых, возведем обе части в квадрат. Левая часть: $(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$. Правая часть: $(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.Поскольку правая часть положительна и квадраты обеих частей равны, исходное равенство верно. Можно также заметить, что подкоренное выражение является полным квадратом: $7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2 - \sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$.Арифметический квадратный корень (левая часть) по определению не может быть отрицательным числом. Проверим знак правой части: $\sqrt{5} - 3$. Сравним $\sqrt{5}$ и $3$. Так как $(\sqrt{5})^2 = 5$, а $3^2 = 9$, то $5 < 9$, значит $\sqrt{5} < 3$. Следовательно, выражение $\sqrt{5} - 3$ отрицательно.Так как левая часть равенства неотрицательна, а правая отрицательна, равенство не может быть верным.Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$.Левая часть, $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, является арифметическим квадратным корнем, и ее значение должно быть неотрицательным. Проверим знак правой части: $\sqrt{3} - 2$. Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Так как $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $2^2 = 4$, то $3 < 4$, значит $\sqrt{3} < 2$. Следовательно, выражение $\sqrt{3} - 2$ отрицательно.Равенство, в котором неотрицательное число приравнивается к отрицательному, неверно.Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$.Сначала проверим знак правой части: $3 - \sqrt{6}$. Сравним $3$ и $\sqrt{6}$. Так как $3^2 = 9$, а $(\sqrt{6})^2 = 6$, то $9 > 6$, значит $3 > \sqrt{6}$. Следовательно, выражение $3 - \sqrt{6}$ положительно.Теперь возведем обе части равенства в квадрат. Левая часть: $(\sqrt{15 - 6\sqrt{6}})^2 = 15 - 6\sqrt{6}$. Правая часть: $(3 - \sqrt{6})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 - 6\sqrt{6} + 6 = 15 - 6\sqrt{6}$.Так как правая часть положительна и квадраты обеих частей равны, исходное равенство верно. Также можно представить подкоренное выражение как полный квадрат: $15 - 6\sqrt{6} = 9 - 6\sqrt{6} + 6 = (3 - \sqrt{6})^2$. Тогда $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.Ответ: верно.

4.6. Вычислите корень n-й степени:

а) $\sqrt[4]{16};$

б) $\sqrt[5]{32};$

в) $\sqrt[4]{81};$

г) $\sqrt[3]{64}.$

а) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 16, или $\sqrt[4]{16}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень будет равно 16.

Пусть искомое число равно $x$. Тогда по определению корня $n$-й степени, должно выполняться равенство $x^4 = 16$.

Наша задача — представить число 16 в виде степени с показателем 4. Мы знаем, что $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Таким образом, выражение можно переписать следующим образом: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для неотрицательных $a$), получаем: $\sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2

б) Для вычисления корня пятой степени из 32, или $\sqrt[5]{32}$, нужно найти число, которое при возведении в пятую степень даст 32.

Пусть это число равно $x$. Тогда, по определению, $x^5 = 32$.

Представим число 32 в виде степени с показателем 5. Разложим 32 на множители: $32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2^4 = 2^5$.

Следовательно, мы можем записать: $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5}$.

По свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем: $\sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: 2

в) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, или $\sqrt[4]{81}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 81.

Пусть это число равно $x$. Тогда, по определению, $x^4 = 81$.

Представим число 81 в виде степени с показателем 4. Мы знаем, что $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$.

Таким образом, исходное выражение равносильно: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4}$.

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для неотрицательных $a$), находим: $\sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

г) Для вычисления корня третьей степени (кубического корня) из 64, или $\sqrt[3]{64}$, нужно найти число, которое при возведении в третью степень даст 64.

Пусть искомое число равно $x$. Тогда, по определению, $x^3 = 64$.

Представим число 64 в виде степени с показателем 3. Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, выражение можно переписать так: $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3}$.

По свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем: $\sqrt[3]{4^3} = 4$.

Ответ: 4