Номер 4.4, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.4, страница 28.

4.4. Найдите ошибку в рассуждениях:

а) $2 = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{(2)^4} = \sqrt[4]{(-2)^4} = -2;$

б) $5 = \sqrt[6]{15625} = \sqrt[6]{(5)^6} = \sqrt[6]{(-5)^6} = -5.$

а) Ошибка в рассуждениях допущена на последнем шаге, в равенстве $ \sqrt[4]{(-2)^4} = -2 $.

По определению, арифметический корень четной степени ($n=2, 4, 6, \dots$) из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо тождество:

$ \sqrt[n]{a^n} = |a| $

В данном случае показатель корня $n=4$ является четным числом. Следовательно, извлекать корень нужно по указанному выше правилу:

$ \sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2 $

Таким образом, последнее равенство в цепочке неверно. Вместо $ -2 $ должно быть $ 2 $, и тогда вся цепочка превращается в тождество $ 2 = 2 $. Ошибка заключается в неверном извлечении корня четной степени из отрицательного числа, возведенного в эту же степень.

Ответ: ошибка содержится в равенстве $ \sqrt[4]{(-2)^4} = -2 $. Правильное значение выражения $ \sqrt[4]{(-2)^4} $ равно $ |-2| $, то есть $2$.

б) Ошибка в этом примере аналогична предыдущему и находится в последнем равенстве $ \sqrt[6]{(-5)^6} = -5 $.

Показатель корня $n=6$ — четное число. Как и в пункте а), для корней четной степени действует правило $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $.

Применяя это правило к выражению, получаем:

$ \sqrt[6]{(-5)^6} = |-5| = 5 $

Следовательно, последний шаг в рассуждениях неверен. Он приводит к абсурдному выводу $ 5 = -5 $. Правильная запись цепочки равенств выглядит так: $ 5 = \sqrt[6]{15625} = \sqrt[6]{(5)^6} = \sqrt[6]{(-5)^6} = 5 $.

Ответ: ошибка содержится в равенстве $ \sqrt[6]{(-5)^6} = -5 $. Правильное значение выражения $ \sqrt[6]{(-5)^6} $ равно $ |-5| $, то есть $5$.