Номер 4.9, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.9, страница 29.

4.9. a) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$;

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$;

В) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$;

Г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$ сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$.Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$.Вычислим корень четвертой степени из числителя и знаменателя:$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.Таким образом, получаем:$\frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.Используем свойство корня из дроби:$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.Вычислим кубический корень из числителя и знаменателя:$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.Таким образом, получаем:$\frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567 + 58}{81} = \frac{625}{81}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$.Используем свойство корня из дроби:$\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$.Вычислим корень четвертой степени из числителя и знаменателя:$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.Таким образом, получаем дробь $\frac{5}{3}$, которую можно представить в виде смешанного числа:$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$.

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$.Используем свойство корня из дроби:$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$.Вычислим корень пятой степени из числителя и знаменателя:$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.Таким образом, получаем:$\frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.