Номер 4.10, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.10, страница 29.

4.10. а) $\sqrt[7]{-128}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{1}{8}};$

в) $\sqrt[3]{-64};$

г) $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$.

а) Чтобы найти корень седьмой степени из -128, необходимо найти число, которое при возведении в седьмую степень даст -128. Обозначим это число как $x$, тогда $x^7 = -128$. Поскольку показатель корня (7) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным. Мы можем представить -128 как степень числа -2: $(-2)^7 = -128$. Следовательно, $ \sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2 $.

Ответ: -2

б) Для вычисления корня из дроби используем свойство $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $: $ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} $. Вычисляем корни для числителя и знаменателя: $ \sqrt[3]{1} = 1 $, так как $1^3 = 1$. $ \sqrt[3]{8} = 2 $, так как $2^3 = 8$. Подставляем полученные значения: $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Требуется найти корень кубический из -64. Так как показатель корня (3) — нечетное число, мы можем вынести знак минус за знак корня: $ \sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} $. Теперь найдем значение $ \sqrt[3]{64} $. Нам нужно найти число, которое при возведении в куб равно 64. Этим числом является 4, потому что $4^3 = 64$. Таким образом, $ \sqrt[3]{-64} = -4 $.

Ответ: -4

г) Для вычисления корня пятой степени из $ -\frac{1}{32} $, заметим, что показатель корня (5) нечетный. Это позволяет нам работать с отрицательным подкоренным выражением. Представим дробь $ -\frac{1}{32} $ как степень: $ -\frac{1}{32} = -(\frac{1}{2})^5 = (-\frac{1}{2})^5 $. Тогда исходное выражение можно переписать как: $ \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{(-\frac{1}{2})^5} $. По определению корня нечетной степени, $ \sqrt[n]{a^n} = a $, поэтому: $ \sqrt[5]{(-\frac{1}{2})^5} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $