Номер 4.7, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.7, страница 29.

Вычислите корень n-й степени:

4.7. a) $ \sqrt[9]{512} $;

б) $ \sqrt[4]{\frac{16}{625}} $;

в) $ \sqrt[3]{1331} $;

г) $ \sqrt[4]{\frac{81}{256}} $.

а) Чтобы вычислить корень 9-й степени из 512, необходимо найти число, которое при возведении в 9-ю степень даст 512. Запишем это в виде выражения: $\sqrt[9]{512}$.

Мы знаем, что 512 является степенью числа 2. Проверим: $2^9 = 512$.

Следовательно, мы можем переписать исходное выражение, подставив $2^9$ вместо 512:

$\sqrt[9]{512} = \sqrt[9]{2^9}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:

$\sqrt[9]{2^9} = 2$

Ответ: 2

б) Чтобы вычислить корень 4-й степени из дроби $\frac{16}{625}$, воспользуемся свойством корня от дроби, которое гласит: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}}$

Теперь вычислим корень числителя и корень знаменателя по отдельности.

Для числителя: нужно найти число, которое в 4-й степени равно 16. Это число 2, так как $2^4 = 16$. Значит, $\sqrt[4]{16} = 2$.

Для знаменателя: нужно найти число, которое в 4-й степени равно 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$. Значит, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Подставим найденные значения обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в) Нам необходимо вычислить кубический корень из 1331, то есть найти такое число $x$, что $x^3 = 1331$. Выражение: $\sqrt[3]{1331}$.

Поскольку число 1331 оканчивается на 1, его кубический корень также должен оканчиваться на 1. Проверим число 11:

$11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 121 \times 11 = 1331$.

Таким образом, мы нашли, что $11^3 = 1331$.

Теперь мы можем вычислить корень:

$\sqrt[3]{1331} = \sqrt[3]{11^3} = 11$.

Ответ: 11

г) Для вычисления корня 4-й степени из дроби $\frac{81}{256}$ применим свойство корня от дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим корни числителя и знаменателя.

Числитель: ищем число, которое в 4-й степени даёт 81. Это число 3, поскольку $3^4 = 81$. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Знаменатель: ищем число, которое в 4-й степени даёт 256. Это число 4, поскольку $4^4 = 256$. Таким образом, $\sqrt[4]{256} = 4$.

Теперь объединим результаты:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$