Номер 4.5, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.5, страница 28.

○4.5. Верно ли равенство:

a) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$;

в) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$;

г) $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$?

а) Чтобы проверить равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна и что квадраты обеих частей равны.Во-первых, оценим знак правой части: $2 - \sqrt{3}$. Сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Так как $2^2 = 4$, а $(\sqrt{3})^2 = 3$, то $4 > 3$, значит $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, выражение $2 - \sqrt{3}$ положительно.Во-вторых, возведем обе части в квадрат. Левая часть: $(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$. Правая часть: $(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.Поскольку правая часть положительна и квадраты обеих частей равны, исходное равенство верно. Можно также заметить, что подкоренное выражение является полным квадратом: $7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2 - \sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$.Арифметический квадратный корень (левая часть) по определению не может быть отрицательным числом. Проверим знак правой части: $\sqrt{5} - 3$. Сравним $\sqrt{5}$ и $3$. Так как $(\sqrt{5})^2 = 5$, а $3^2 = 9$, то $5 < 9$, значит $\sqrt{5} < 3$. Следовательно, выражение $\sqrt{5} - 3$ отрицательно.Так как левая часть равенства неотрицательна, а правая отрицательна, равенство не может быть верным.Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$.Левая часть, $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, является арифметическим квадратным корнем, и ее значение должно быть неотрицательным. Проверим знак правой части: $\sqrt{3} - 2$. Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Так как $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $2^2 = 4$, то $3 < 4$, значит $\sqrt{3} < 2$. Следовательно, выражение $\sqrt{3} - 2$ отрицательно.Равенство, в котором неотрицательное число приравнивается к отрицательному, неверно.Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$.Сначала проверим знак правой части: $3 - \sqrt{6}$. Сравним $3$ и $\sqrt{6}$. Так как $3^2 = 9$, а $(\sqrt{6})^2 = 6$, то $9 > 6$, значит $3 > \sqrt{6}$. Следовательно, выражение $3 - \sqrt{6}$ положительно.Теперь возведем обе части равенства в квадрат. Левая часть: $(\sqrt{15 - 6\sqrt{6}})^2 = 15 - 6\sqrt{6}$. Правая часть: $(3 - \sqrt{6})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 - 6\sqrt{6} + 6 = 15 - 6\sqrt{6}$.Так как правая часть положительна и квадраты обеих частей равны, исходное равенство верно. Также можно представить подкоренное выражение как полный квадрат: $15 - 6\sqrt{6} = 9 - 6\sqrt{6} + 6 = (3 - \sqrt{6})^2$. Тогда $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.Ответ: верно.