Номер 4.3, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.3, страница 28.

4.3. Объясните, почему неверно равенство:

а) $\sqrt{25} = -5$;

б) $\sqrt[6]{-64} = -2$;

в) $-\sqrt[3]{-8} = -2$;

г) $\sqrt[4]{625} = -25$.

а) Равенство $\sqrt{25} = -5$ неверно.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) из неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $b^2 = a$.

В данном случае, $a=25$. Мы ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 25. Таким числом является 5, так как $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$. Число -5 не является арифметическим квадратным корнем, потому что оно отрицательное.

Следовательно, верное равенство: $\sqrt{25} = 5$.

Ответ: Равенство неверно, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом.

б) Равенство $\sqrt[6]{-64} = -2$ неверно.

Корень четной степени (в данном случае, 6-й степени) в области действительных чисел определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Поскольку подкоренное выражение $-64$ является отрицательным числом, выражение $\sqrt[6]{-64}$ не имеет смысла (не определено) в множестве действительных чисел.

Ответ: Равенство неверно, так как корень четной степени из отрицательного числа не определен в действительных числах.

в) Равенство $-\sqrt[3]{-8} = -2$ неверно.

Сначала вычислим значение выражения в левой части. Корень нечетной степени (в данном случае, 3-й степени) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

Найдем $\sqrt[3]{-8}$. Это число, которое при возведении в куб дает -8. Таким числом является -2, так как $(-2)^3 = -8$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$.

Таким образом, левая часть равенства равна 2, а правая равна -2. Так как $2 \ne -2$, равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$, а не -2.

г) Равенство $\sqrt[4]{625} = -25$ неверно.

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, 4-й степени) из неотрицательного числа — это неотрицательное число.

В правой части равенства стоит отрицательное число (-25), что уже делает равенство неверным.

Кроме того, можно проверить равенство возведением в степень. Если бы равенство было верным, то $(-25)^4$ должно было бы равняться 625. Однако, $(-25)^4 = (25)^4 = (25^2)^2 = 625^2 = 390625$. Так как $390625 \ne 625$, равенство неверно.

Правильное значение корня: $\sqrt[4]{625} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^4 = 625$.

Ответ: Равенство неверно, так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным числом, и, кроме того, $(-25)^4 \ne 625$.