Номер 3.29, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.29, страница 26.

3.29. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней:

a) $x^6 - x^5 + 2 = 0;$

б) $x^{14} - x + 3 = 0.$

а) Чтобы доказать, что уравнение $x^6 - x^5 + 2 = 0$ не имеет действительных корней, рассмотрим функцию $f(x) = x^6 - x^5 + 2$ и покажем, что её значение всегда положительно для любого действительного $x$.
Разобьем область определения на два интервала.
1. При $x \le 0$. В этом случае $x^6$ является неотрицательным числом ($x^6 \ge 0$), а $-x^5$ также является неотрицательным ($-x^5 \ge 0$). Следовательно, $f(x) = x^6 - x^5 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$. Таким образом, при $x \le 0$ значение функции строго положительно.
2. При $x > 0$. Для нахождения наименьшего значения функции на этом интервале воспользуемся производной. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^6 - x^5 + 2)' = 6x^5 - 5x^4 = x^4(6x - 5)$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $x^4(6x - 5) = 0$. Учитывая, что $x>0$, получаем единственную критическую точку $x = 5/6$.
При переходе через точку $x = 5/6$ производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на то, что в этой точке функция достигает своего локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка для $x>0$, это и есть точка глобального минимума на этом интервале.
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(5/6) = (5/6)^6 - (5/6)^5 + 2 = (5/6)^5(5/6 - 1) + 2 = (5/6)^5(-1/6) + 2 = 2 - \frac{5^5}{6^6} = 2 - \frac{3125}{46656}$.
Так как $3125 < 46656$, то $0 < \frac{3125}{46656} < 1$. Отсюда следует, что $f(5/6) > 2 - 1 = 1$.
Итак, мы показали, что при $x \le 0$ значение $f(x) \ge 2$, а при $x > 0$ минимальное значение $f(x)$ больше 1. Следовательно, функция $f(x)$ всегда принимает строго положительные значения.
Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

б) Чтобы доказать, что уравнение $x^{14} - x + 3 = 0$ не имеет действительных корней, рассмотрим функцию $g(x) = x^{14} - x + 3$. Мы докажем, что $g(x) > 0$ для всех действительных $x$, найдя её наименьшее значение.
Для этого найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^{14} - x + 3)' = 14x^{13} - 1$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$14x^{13} - 1 = 0 \implies x^{13} = \frac{1}{14} \implies x_0 = \sqrt[13]{\frac{1}{14}}$.
Это единственная критическая точка. Чтобы проверить, является ли она точкой минимума, найдем вторую производную:
$g''(x) = (14x^{13} - 1)' = 14 \cdot 13x^{12} = 182x^{12}$.
Поскольку $x_0 = \sqrt[13]{\frac{1}{14}} > 0$, значение второй производной в этой точке $g''(x_0) = 182x_0^{12} > 0$. Следовательно, в точке $x_0$ функция имеет минимум. Так как это единственная критическая точка, это глобальный минимум.
Теперь вычислим значение функции в точке минимума $x_0$. Используем тот факт, что $x_0^{13} = \frac{1}{14}$, откуда $x_0^{14} = x_0^{13} \cdot x_0 = \frac{1}{14}x_0$.
$g(x_0) = x_0^{14} - x_0 + 3 = \frac{1}{14}x_0 - x_0 + 3 = 3 - \frac{13}{14}x_0$.
Оценим значение $x_0$. Так как $0 < \frac{1}{14} < 1$, то и корень из этого числа также находится в этом интервале: $0 < x_0 < 1$.
Тогда для значения функции в точке минимума получаем оценку:
$g(x_0) = 3 - \frac{13}{14}x_0 > 3 - \frac{13}{14} \cdot 1 = 3 - \frac{13}{14} = \frac{21-13}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Наименьшее значение функции $g(x)$ строго положительно ($g(x_{min}) > 4/7 > 0$). Это означает, что $g(x) > 0$ для любого действительного $x$.
Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.