Номер 3.25, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.25, страница 26.

3.25. a) На основании того, что число $\sqrt{2}$ является корнем уравнения $x^2 - 2 = 0$, докажите, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

б) Проверив, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ является корнем уравнения $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$, докажите, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ — иррациональное число.

а) Для доказательства используем метод от противного и следствие из теоремы Безу, известное как теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2 = 0$. Коэффициенты этого уравнения ($a_2=1, a_1=0, a_0=-2$) являются целыми числами.

Предположим, что число $\sqrt{2}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и числа $p$ и $q$ взаимно просты.

Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена ($a_0 = -2$), а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента ($a_2 = 1$).

Возможные значения для $p$ (делители числа -2): $\pm 1, \pm 2$.
Возможные значения для $q$ (натуральные делители числа 1): $1$.

Следовательно, все возможные рациональные корни данного уравнения — это числа $\frac{\pm 1}{1}$ и $\frac{\pm 2}{1}$, то есть $\pm 1$ и $\pm 2$.

Теперь проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения $x^2 - 2 = 0$:
При $x=1$: $1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$.
При $x=-1$: $(-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$.
При $x=2$: $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \neq 0$.
При $x=-2$: $(-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \neq 0$.

Ни одно из возможных рациональных значений не является корнем. Это означает, что уравнение $x^2 - 2 = 0$ не имеет рациональных корней.

По условию задачи, $\sqrt{2}$ является корнем этого уравнения. Поскольку мы доказали, что у уравнения нет рациональных корней, наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt{2}$ — рациональное число, было неверным. Следовательно, $\sqrt{2}$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

б) Сначала выполним проверку: убедимся, что число $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ действительно является корнем уравнения $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$.

Для этого найдем $x^2$ и $x^4$.
$x^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.

$x^4 = (x^2)^2 = (5 - 2\sqrt{6})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 4 \cdot 6 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$.

Теперь подставим найденные значения $x^2$ и $x^4$ в левую часть уравнения:
$x^4 - 10x^2 + 1 = (49 - 20\sqrt{6}) - 10(5 - 2\sqrt{6}) + 1 = 49 - 20\sqrt{6} - 50 + 20\sqrt{6} + 1 = (49 - 50 + 1) + (-20\sqrt{6} + 20\sqrt{6}) = 0 + 0 = 0$.

Равенство $0=0$ верно, значит, $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Теперь докажем иррациональность числа $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, используя тот же подход, что и в пункте а).

Уравнение $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$ имеет целые коэффициенты ($a_4=1, a_3=0, a_2=-10, a_1=0, a_0=1$).

Предположим, что число $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ рационально и может быть представлено в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$.

По теореме о рациональных корнях, числитель $p$ должен быть делителем свободного члена ($a_0 = 1$), а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента ($a_4 = 1$).

Возможные значения для $p$ (делители числа 1): $\pm 1$.
Возможные значения для $q$ (натуральные делители числа 1): $1$.

Следовательно, единственными возможными рациональными корнями уравнения являются числа $\pm 1$.

Проверим эти значения:
При $x=1$: $1^4 - 10(1^2) + 1 = 1 - 10 + 1 = -8 \neq 0$.
При $x=-1$: $(-1)^4 - 10(-1)^2 + 1 = 1 - 10 + 1 = -8 \neq 0$.

Ни одно из возможных рациональных значений не является корнем. Значит, уравнение $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$ не имеет рациональных корней.

Так как мы подтвердили, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ является корнем этого уравнения, а рациональных корней у уравнения нет, то число $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ не может быть рациональным. Следовательно, оно иррационально.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ — иррациональное число.