Номер 3.20, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.20, страница 25.

3.20. a) $(x + 2)^4 + x^4 = 82;$

б) $(5x - 3)^4 + (5x - 1)^4 = 82;$

в) $(x + 3)^4 + (x - 1)^4 = 32;$

г) $(5x + 3)^4 + (5x - 1)^4 = 32.$

a) $(x + 2)^4 + x^4 = 82$

Данное уравнение является симметричным. Введем замену, чтобы свести его к более простому виду. Пусть замена будет основана на среднем арифметическом выражений в скобках: $y = \frac{(x+2) + x}{2} = \frac{2x+2}{2} = x+1$.

Отсюда выразим $x$ и $x+2$ через $y$:

$x = y - 1$

$x + 2 = y + 1$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(y + 1)^4 + (y - 1)^4 = 82$

Раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$:

$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 82$

Сгруппируем подобные члены:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 82$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$2y^4 + 12y^2 - 80 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^4 + 6y^2 - 40 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 + 6z - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $z_1$ и $z_2$ должны удовлетворять условиям $z_1 + z_2 = -6$ и $z_1 \cdot z_2 = -40$. Подбором находим $z_1 = -10$ и $z_2 = 4$.

Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_1 = -10$ является посторонним.

Рассмотрим $z_2 = 4$:

$y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y = x+1$:

1) Если $y = 2$, то $x + 1 = 2 \implies x = 1$.

2) Если $y = -2$, то $x + 1 = -2 \implies x = -3$.

Проверка подтверждает, что оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -3$.

б) $(5x - 3)^4 + (5x - 1)^4 = 82$

Это уравнение похоже на предыдущее. Введем замену, взяв за основу среднее арифметическое выражений в скобках: $y = \frac{(5x-3) + (5x-1)}{2} = \frac{10x-4}{2} = 5x-2$.

Выразим $5x-3$ и $5x-1$ через $y$:

$5x-3 = y - 1$

$5x-1 = y + 1$

Подставим в уравнение:

$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 82$

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для переменной $y$ из пункта а). Поэтому, мы уже знаем его решения:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Вернемся к переменной $x$, используя замену $y = 5x-2$:

1) Если $y = 2$, то $5x - 2 = 2 \implies 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$.

2) Если $y = -2$, то $5x - 2 = -2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$.

Проверка подтверждает, что оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{4}{5}$.

в) $(x + 3)^4 + (x - 1)^4 = 32$

Применим метод замены переменной. Пусть $y$ - среднее арифметическое выражений в скобках: $y = \frac{(x+3) + (x-1)}{2} = \frac{2x+2}{2} = x+1$.

Выразим $x+3$ и $x-1$ через $y$:

$x+3 = (x+1)+2 = y+2$

$x-1 = (x+1)-2 = y-2$

Подставим в исходное уравнение:

$(y + 2)^4 + (y - 2)^4 = 32$

Раскроем скобки, используя общую формулу $(a+b)^4+(a-b)^4 = 2a^4+12a^2b^2+2b^4$. Здесь $a=y, b=2$:

$2y^4 + 12y^2(2^2) + 2(2^4) = 32$

$2y^4 + 12y^2 \cdot 4 + 2 \cdot 16 = 32$

$2y^4 + 48y^2 + 32 = 32$

Упростим уравнение:

$2y^4 + 48y^2 = 0$

Вынесем общий множитель $2y^2$ за скобки:

$2y^2(y^2 + 24) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2y^2 = 0 \implies y = 0$.

2) $y^2 + 24 = 0 \implies y^2 = -24$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственное действительное решение для $y$ - это $y=0$.

Вернемся к переменной $x$, используя замену $y = x+1$:

$x+1 = 0 \implies x = -1$.

Проверка подтверждает, что корень верен.

Ответ: $x = -1$.

г) $(5x + 3)^4 + (5x - 1)^4 = 32$

Снова используем метод замены переменной. Пусть $y$ - среднее арифметическое выражений в скобках: $y = \frac{(5x+3) + (5x-1)}{2} = \frac{10x+2}{2} = 5x+1$.

Выразим $5x+3$ и $5x-1$ через $y$:

$5x+3 = (5x+1)+2 = y+2$

$5x-1 = (5x+1)-2 = y-2$

Подставим в исходное уравнение:

$(y+2)^4 + (y-2)^4 = 32$

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для переменной $y$ из пункта в). Следовательно, его единственное действительное решение - это $y=0$.

Вернемся к переменной $x$ через замену $y=5x+1$:

$5x+1 = 0 \implies 5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}$.

Проверка подтверждает, что корень верен.

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$.