Номер 3.19, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.19, страница 25.

3.19. а) $2y^4 - y^2(y - 2) - 3(y - 2)^2 = 0;$

б) $(x^2 + 6x - 9)^2 + x(x^2 + 4x - 9) = 0;$

в) $(t^2 + 2t)^2 - (t + 2)(2t^2 - t) = 6(2t - 1)^2;$

г) $(x^2 - 6x + 6)^2 - x^3 + 4x^2 - 6x = 0.$

а) $2y^4 - y^2(y - 2) - 3(y - 2)^2 = 0$

Заметим, что $y=2$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $2 \cdot 2^4 - 2^2(2-2) - 3(2-2)^2 = 32 \neq 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $(y - 2)^2$, так как это выражение не равно нулю.

$2\frac{y^4}{(y-2)^2} - \frac{y^2(y-2)}{(y-2)^2} - \frac{3(y-2)^2}{(y-2)^2} = 0$

$2\left(\frac{y^2}{y-2}\right)^2 - \frac{y^2}{y-2} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = \frac{y^2}{y-2}$. Уравнение принимает вид:

$2z^2 - z - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $z$. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$z_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$z_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1-5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $y$.

1. Если $z = \frac{3}{2}$:

$\frac{y^2}{y-2} = \frac{3}{2}$

$2y^2 = 3(y-2)$

$2y^2 - 3y + 6 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2. Если $z = -1$:

$\frac{y^2}{y-2} = -1$

$y^2 = -(y-2)$

$y^2 + y - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Ответ: $-2; 1$.

б) $(x^2 + 6x - 9)^2 + x(x^2 + 4x - 9) = 0$

Преобразуем выражение в первой скобке: $x^2 + 6x - 9 = (x^2 + 4x - 9) + 2x$.

Сделаем замену. Пусть $a = x^2 + 4x - 9$. Тогда уравнение примет вид:

$(a + 2x)^2 + xa = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 4ax + 4x^2 + ax = 0$

$a^2 + 5ax + 4x^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $a$.

Дискриминант $D = (5x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4x^2) = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2$.

$a_1 = \frac{-5x + \sqrt{9x^2}}{2} = \frac{-5x + 3x}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$

$a_2 = \frac{-5x - \sqrt{9x^2}}{2} = \frac{-5x - 3x}{2} = \frac{-8x}{2} = -4x$

Вернемся к замене.

1. Если $a = -x$:

$x^2 + 4x - 9 = -x$

$x^2 + 5x - 9 = 0$

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 25 + 36 = 61$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{61}}{2}$.

2. Если $a = -4x$:

$x^2 + 4x - 9 = -4x$

$x^2 + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = -9$.

Ответ: $-9; \frac{-5 - \sqrt{61}}{2}; 1; \frac{-5 + \sqrt{61}}{2}$.

в) $(t^2 + 2t)^2 - (t + 2)(2t^2 - t) = 6(2t - 1)^2$

Вынесем общие множители в левой части: $t^2 + 2t = t(t+2)$ и $2t^2 - t = t(2t-1)$.

$(t(t+2))^2 - (t+2)t(2t-1) = 6(2t-1)^2$

$t^2(t+2)^2 - t(t+2)(2t-1) = 6(2t-1)^2$

Заметим, что $t=1/2$ не является корнем уравнения. Значит, можно разделить обе части на $(2t-1)^2 \neq 0$.

$\frac{t^2(t+2)^2}{(2t-1)^2} - \frac{t(t+2)(2t-1)}{(2t-1)^2} = \frac{6(2t-1)^2}{(2t-1)^2}$

$\left(\frac{t(t+2)}{2t-1}\right)^2 - \frac{t(t+2)}{2t-1} - 6 = 0$

Сделаем замену. Пусть $u = \frac{t(t+2)}{2t-1} = \frac{t^2+2t}{2t-1}$. Уравнение примет вид:

$u^2 - u - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $u_1 = 3$ и $u_2 = -2$.

Вернемся к замене.

1. Если $u = 3$:

$\frac{t^2+2t}{2t-1} = 3 \implies t^2+2t = 3(2t-1) \implies t^2+2t = 6t-3 \implies t^2-4t+3=0$

Корни по теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = 3$.

2. Если $u = -2$:

$\frac{t^2+2t}{2t-1} = -2 \implies t^2+2t = -2(2t-1) \implies t^2+2t = -4t+2 \implies t^2+6t-2=0$

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.

Корни: $t_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -3 \pm \sqrt{11}$.

Ответ: $-3 - \sqrt{11}; 1; 3; -3 + \sqrt{11}$.

г) $(x^2 - 6x + 6)^2 - x^3 + 4x^2 - 6x = 0$

Перенесем часть слагаемых вправо и вынесем $x$ за скобку:

$(x^2 - 6x + 6)^2 = x^3 - 4x^2 + 6x$

$(x^2 - 6x + 6)^2 = x(x^2 - 4x + 6)$

Заметим, что обе части уравнения можно выразить через два выражения: $A = x^2 - 5x + 6$ и $B = x$.

Левая часть: $x^2 - 6x + 6 = (x^2 - 5x + 6) - x = A - B$.

Правая часть: $x(x^2 - 4x + 6) = x((x^2 - 5x + 6) + x) = B(A + B)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(A - B)^2 = B(A + B)$

$A^2 - 2AB + B^2 = AB + B^2$

$A^2 - 3AB = 0$

$A(A - 3B) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $A = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

2. $A - 3B = 0 \implies A = 3B$

$x^2 - 5x + 6 = 3x$

$x^2 - 8x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}$.

Ответ: $2; 3; 4 - \sqrt{10}; 4 + \sqrt{10}$.