Номер 3.14, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.14, страница 24.

3.14. a) $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0;$

б) $9x^4 - 9x^3 + 10x^2 - 3x + 1 = 0;$

в) $2x^4 - 7x^3 + 10x^2 - 7x + 2 = 0;$

г) $25x^4 - 50x^3 + 14x^2 + 10x + 1 = 0.$

а) $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны.

Поскольку $x=0$ не является корнем уравнения (так как свободный член равен 1), мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 - x - 4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда получаем $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим это в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 2) - y - 4 = 0$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета находим корни:

$y_1 = 3$, $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y = 3$:

$x + \frac{1}{x} = 3$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 1 = 3x$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

2) Если $y = -2$:

$x + \frac{1}{x} = -2$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 1 = -2x$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$ (корень кратности 2).

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = -1$ (кратности 2), $x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б) $9x^4 - 9x^3 + 10x^2 - 3x + 1 = 0$

Данное уравнение является обобщенным возвратным уравнением вида $Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0$, для которого выполняется условие $\frac{E}{A} = (\frac{D}{B})^2$.

Проверим условие: $A=9, B=-9, D=-3, E=1$.

$\frac{1}{9} = (\frac{-3}{-9})^2 \implies \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2 \implies \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$. Условие выполнено.

Так как $x=0$ не является корнем, разделим уравнение на $x^2$:

$9x^2 - 9x + 10 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{1}{x^2}) - (9x + \frac{3}{x}) + 10 = 0$

$(9x^2 + \frac{1}{x^2}) - 3(3x + \frac{1}{x}) + 10 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 3x + \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (3x + \frac{1}{x})^2 = 9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2}$, откуда $9x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 6$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 6) - 3y + 10 = 0$

$y^2 - 3y + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D_y = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D_y < 0$), уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

в) $2x^4 - 7x^3 + 10x^2 - 7x + 2 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение. Разделим его на $x^2$ (так как $x=0$ не корень):

$2x^2 - 7x + 10 - \frac{7}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 10 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$2(y^2 - 2) - 7y + 10 = 0$

$2y^2 - 4 - 7y + 10 = 0$

$2y^2 - 7y + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D_y = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$

$y_1 = \frac{7+1}{4} = 2$, $y_2 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$ (корень кратности 2).

2) Если $y = \frac{3}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \implies 2x^2 - 3x + 2 = 0$.

Дискриминант $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Действительных корней в этом случае нет, но есть комплексные:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $x_1 = 1$ (кратности 2), $x_{2,3} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

г) $25x^4 - 50x^3 + 14x^2 + 10x + 1 = 0$

Это обобщенное возвратное уравнение. Проверим условие $\frac{E}{A} = (\frac{D}{B})^2$:

$A=25, B=-50, D=10, E=1$.

$\frac{1}{25} = (\frac{10}{-50})^2 \implies \frac{1}{25} = (-\frac{1}{5})^2 \implies \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$. Условие выполнено.

Разделим уравнение на $x^2$:

$25x^2 - 50x + 14 + \frac{10}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(25x^2 + \frac{1}{x^2}) - (50x - \frac{10}{x}) + 14 = 0$

$(25x^2 + \frac{1}{x^2}) - 10(5x - \frac{1}{x}) + 14 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 5x - \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (5x - \frac{1}{x})^2 = 25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25x^2 - 10 + \frac{1}{x^2}$, откуда $25x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 10$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 + 10) - 10y + 14 = 0$

$y^2 - 10y + 24 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 4$, $y_2 = 6$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 4$:

$5x - \frac{1}{x} = 4 \implies 5x^2 - 1 = 4x \implies 5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ (так как $5-4-1=0$) и $x_2 = \frac{-1}{5}$ (по теореме Виета $x_1x_2 = c/a$).

2) Если $y = 6$:

$5x - \frac{1}{x} = 6 \implies 5x^2 - 1 = 6x \implies 5x^2 - 6x - 1 = 0$.

Дискриминант $D_x = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 36 + 20 = 56$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{14}}{5}$.

Ответ: $x_1=1, x_2 = -\frac{1}{5}, x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{14}}{5}$.